2.2 Ряды Маклорена и Тейлора
Рассмотрим произвольную функцию f (x), определенную в заданном интервале | x x0 | < R, и предположим для нее, что в точке x0 существуют производные всех порядков до n-го включительно. Будем искать многочлен n-степени с неизвестными пока коэффициентами, который наилучшим образом приближается к функции f (x):
Pn(x) = a0 + a1( x x0 ) + a2 ( x x0 )2 + + an ( x x0 )n f (x). (20)
Для этого потребуем, чтобы функция f (x) и ее n производных были равны значению многочлена Pn(x) и его производных в точке x0. Если x0 = 0, то
Pn(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn f (x). (21)
Как видно из (21)
Pn(0) = a0 = f (0).
Для нахождения коэффициентов ai ( i = 1, 2, , n) продифференци-руем (21) почленно:
= a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 + 4 a4 x3 + + n an xn-1 +,
=
2
a2
+ 23
a3
x
+ 34
a4
x2
+
+
n(n-1)
an
xn-2
+,
(22)
……………………………………………………………
Как видно из (22) при x = 0: f(0) = a1, f(0) = 2 a2, f(0) = 23 a3,
f (4)(0) = 234 a4 , , f (n)(0) = 234n an. Отсюда для коэффициентов многочлена (21) получим:
a0
= f (0), a1
= f
(0), a2 =
,
a3 =
,
a4 =
,
,
an
=
.
Приближение функции f (x) многочленом (21) примет вид (n! = 1234n):
f
(x)
f
(0) +
x
+
x2
+
x3
+
+
xn.
(23)
В тех случаях, когда функция f (x) или ее производные теряют смысл при x = 0, пользуются более общим представлением (20) функции в виде многочлена. Легко показать, что для приближения функции f (x) многочленом (20) справедливо выражение:
f
(x)
f
(x0)+
(xx0)+
(xx0)2
+
(xx0)3
+
+
(xx0)n.
(24)
Многочлены (23) и (24) дают лишь некоторое приближение для функции f (x). В связи с этим возникает вопрос о степени близости f (x) и соответствующего многочлена. Разность
f (x) Pn(x) = rn(x) (25)
называется остаточным членом. Так как n мы можем брать сколь угодно большим, то выражения (23) и (24) приводят к разложению f(x) в бесконечный степенной ряд
f (x) = f (x0) + (x x0) + (x x0)2 + (x x0)3 +
+ (x x0)n + (26)
при | x x0 | < R.
Впервые возможность представления функции в виде бесконечного ряда была доказана Тейлором. При x0 = 0 такой ряд был выведен Маклореном:
f (x) = f (0) + x + x2 + x3 + + xn + . (26)
Разность между f (x) и суммой (n+1) членов ряда, согласно (25), есть как раз остаточный член rn (x). Тогда очевидно, что для того, чтобы при некотором значении x действительно имело место разложение (26), необходимо и достаточно, чтобы
.
(27)
Замечание. Для непрерывной вместе со своими производными функции f (x), как правило, условие (27) выполняется и функция f (x) разлагается в степенной ряд. Далее приведены примеры разложения элементарных функций в степенные ряды.
Пример
10. Разложить
в ряд функцию
f
(x)
= ex.
Все производные функции ex
равны
ex.
Полагая x
= 0, получим f
(0) = =
=
=
= 1. Подставляя эти значения в ряд (26),
будем иметь разложение функции
=
ex
в ряд Маклорена:
(28)
Применяя к этому ряду признак Даламбера
.
Степенной ряд (28) сходится для любого x; интервал сходимости (, ).
Пример
11. Разложить
в ряд функцию f
(x)
=
.
,
,
,
,
При x = 0
,
,
,
,
,
Подставляя в (26), получим
,
(29)
где x измеряется в радианах.
Пример
12. Разложить
в ряд функцию f
(x)
=
.
,
,
,
,
При x = 0
,
,
,
,
,
Подставляя в (26), получим
(30)
Разложение (30), также как и (29), справедливо при любом x.
Пример
13. Разложить
в ряд функцию f
(x)
=
.
Функция
не определена при
x
= 0, поэтому разложим ее в ряд Тейлора
(26) по возрастающим степеням (x1)
(при x0
= 1).
,
,
,
,
При x = 1
,
,
,
,
,
Подставляя в (26), находим
Пример
14. Разложить
в ряд функцию мнимого аргумента
f
(x)
=
.
Обозначим z
= ix.
Зная разложение в ряд функции ex,
запишем
Разделяя действительную и мнимую часть, получим
.
(31)
Согласно (29) и (30), равенство (31) можно записать в виде
.
(32)
Заменяя
x
на x
и учитывая, что
=
,
а
=
,
находим
.
(33)
Формулы (32) и (33) были выведены Эйлером; разрешая (32) и (33) относительно и , получим
,
.