Интегральное исчисление функции одной переменной
Неопределенный интеграл.
Функция
называется первообразной по отношению
к функции
,
если
дифференцируема и выполняется условие
.
Очевидно, что
где С-любая константа.
Неопределенным
интегралом от функции
называется множество всех первообразных
этой функции. Неопределенный интеграл
обозначается
и равен
.
Основные свойства неопределенного интеграла
dF(x)
= F(x)+C. Справедливость этого равенства
следует из очевидной цепочки равенств
dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx = F(x)+C.
d f(x)dx = f(x)dx. Данная формула следует из равенства
d f(x)dx = d(F(x)+C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
Если функции f1(x), f2(x) имеют первообразные, то функция f1(x)+f2(x) тоже имеет первообразную, причем
(f1(x)+f2 (x))dx = f1(x)dx+ f2(x)dx.
Если функция f(x) имеет первообразную и k– постоянная, то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при k≠0 справедливо равенство kf(x)dx = k f(x)dx.
Заметим, что свойства 3 и 4 следуют из свойств производной.
Основные правила интегрирования.
1.
,
,
где С – произвольная постоянная.
2.
,
где А- постоянная величина.
3.
.
4. Если
и
- дифференцируемая функция, то
.
Таблица основных интегралов.
1 |
|
|
12 |
|
2 |
|
|
13 |
|
3 |
|
|
14 |
|
4 |
|
|
15 |
|
5 |
|
|
16 |
|
6 |
|
|
17 |
|
7 |
|
|
18 |
|
8 |
|
|
19 |
|
9 |
|
|
20 |
|
10 |
|
|
21 |
|
11 |
|
|
|
|
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Это нахождение неопределенного интеграла с помощью его свойств, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.
Введение под знак дифференциала.
Этот метод используется для интегрирования сложных функций и заключается в том, что аргумент сложной функции записывается под знаком дифференциала. После введения аргумента под знак дифференциала нужно разделить подынтегральное выражение на производную этого аргумента. Цель метода введения под знак дифференциала, как и метода непосредственного интегрирования, привести исходный интеграл к табличному.
Метод замены переменной (подстановки)
Требуется найти
интеграл:
,
причем, непосредственно подобрать
первообразную для
нельзя, но известно, что она существует.
Положим
,
где
-непрерывная
функция с непрерывной производной,
имеющая обратную функцию. Тогда
и справедливо равенство:
Это и есть формула метода замены переменной или метода подстановки. Этот метод является одним из основных методов интегрирования. Его задача – свести заданный интеграл к табличному или к более простому, который затем уже приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример. Найти неопределенные интегралы
а)
Решение
Преобразуем
подынтегральную функцию
Применим вначале метод замены переменной:
(*)
- неправильная
рациональная дробь
Выделим целую часть, для этого выполним следующие преобразования:
Использовали
формулы таблицы интегралов:
Ответ:
Интегрирование по частям.
Если
и
- дифференцируемые функции, то
интегрированием по частям называется
нахождение интеграла по формуле:
Интегрирование по частям применяется для интегрирования некоторых трансцендентных функций (lnx, arcsinx, arctgx и тд.), а также произведений алгебраических и трансцендентных функций:
принимаем за
принимаем за
принимаем за
;
принимаем за
;
принимаем за
;
Аналогичные
подстановки и для обратных функций
где
-
многочлен ,,n”
степени.
Пример.
Решение
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
Примем за
Найдем дифференциал функции u:
По dv
найдем функцию v:
(одна
из первообразных; постоянную «с»
не прибавляем)
Итак,
Полученный интеграл
найдем, применяя метод замены переменной
(формула (*))
Применили формулу таблицы основных интегралов
Итак,
Ответ:
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.
При интегрировании выражений, содержащих квадратный трехчлен, будем рассматривать такие виды интегралов:
1)
; 3)
;
2)
; 4)
;
где a, b, c, A, B,-действительные числа.
Чтобы найти интеграл вида 1), нужно дополнить квадратный трехчлен до полного квадрата и свести его к табличному вида (18);(19);(20).
(18)
(19)
(20)
Чтобы найти интеграл вида 2), нужно решать по схеме:
а) найти производную квадратного трехчлена и записать ее в числитель;
б) уравнять коэффициенты в числителе;
в) интеграл разбить на два интеграла и свести к одной из формул вида (18), (19) или (20).
Интеграл вида 3) после выделения полного квадрата сводится к табличному интегралу вида(21) или (16).
Интеграл вида 4) решается по плану, предложенному для нахождения интегралов вида 2), но интеграл нужно свести к табличному вида (16) или (21).
Интегрирование рациональных дробей.
Рациональной
дробью называется дробь вида
,
где
и
- многочлены.
Рациональная дробь называется правильной, если показатель степени многочлена ниже показателя степени многочлена , в противном случае дробь называется неправильной.
Если дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен выделяют “целую” часть и представляют дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Затем правильную дробь разлагают в сумму элементарных дробей.
Простейшими (элементарными) дробями называются дроби следующего вида:
1.
2.
где
3.
, где
т.е. квадратный
трехчлен
не имеет действительных корней.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей:
1.
2.
3.
т.е. нахождение
интеграла (3) уже известно, так как
,
то он сводится к табличному интегралу
(18).
Приведенные формулы для интегрирования простейших дробей запоминать не обязательно. В каждом конкретном примере эти интегралы следует находить изученными ранее методами.
Для разложения правильной рациональной дроби на элементарные, необходимо сначала разложить знаменатель на линейные и квадратные множители:
,
Затем записать схему разложения данной дроби на элементарные в следующем виде;
где
-
некоторые постоянные.
В этом разложении следует обратить внимание на следующее:
если в знаменателе линейный множитель или его степень, то в числителе постоянное число;
если в знаменателе квадратный трехчлен ( с комплексными корнями) или его степень, то в числителе многочлен первой степени.
Постоянные коэффициенты правой части разложения (*) находятся методом неопределенных коэффициентов двумя способами:
I способ.
1. Приведением дробей правой части к общему знаменателю получаем равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями;
2. Приравнивая числители дробей, получаем тождественно равные многочлены.
3. Используя теорему о тождественно равных многочленах, сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в обоих частях полученного тождества. Это приводит к системе, из которой находятся искомые коэффициенты. Этот способ называется способом сравнения.
Подставив найденные коэффициенты в разложение дроби , сводим интегрирование этой дроби к интегрированию известных простейших дробей.
Проще при этом вычисляются коэффициенты, если в качестве числовых значений брать действительные корни знаменателя.
II способ - способ частных значений.
Можно определить коэффициенты, если в полученном тождестве переменной x придать произвольные значения или корни знаменателя, если они есть. Часто бывает полезно комбинировать оба способа.
Определенный интеграл
Пусть функция
определена и ограничена на отрезке [a,
b]
и
- произвольное разбиение этого отрезка
на n
элементарных промежутков. Предположим,
что на каждом отрезке
выбрана точка
.
Тогда сумма
называется интегральной суммой функции
на отрезке [a,
b],
а её предел при
,
если он существует и конечен, называется
определенным интегралом от функции
в пределах от a
до b
и обозначается так:
Определенный интеграл не должен зависеть от разбиений и выбора точек .
Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке [a; b].
Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то существует первообразная от этой функции на отрезке [a; b].
Свойства определенного интеграла.
При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
Аддитивность. Если отрезок интегрирования разбит на части без общих внутренних точек, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям:
Линейность.
т.е. интеграл от
(алгебраической) суммы функций равен
сумме интегралов от каждого слагаемого,
а постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла.
Монотонность.
Если
для любых
то
Оценка интеграла.
Если m и M – наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a; b] и
,
то
Среднее значение функции:
где
Значение функции в точке c, определяемое из последнего равенства:
называется средним значением функции на отрезке [a; b].
Для вычисления определенного интеграла служит формула Ньютона-Лейбница:
где
-какая-нибудь
первообразная функции
на отрезке [a;
b].
При вычислении определенных интегралов используются те же методы и та же таблица основных интегралов, что и при нахождении неопределенных интегралов.
Пусть выполняются следующие условия:
функция непрерывна на отрезке [a; b];
функция непрерывна вместе со своей производной
на отрезке [a;
b];
;функция
определена и непрерывна на отрезке
,
тогда справедлива формула замены
переменной (или подстановки)
.
Если функции
-дифференцируемые на [a;
b],
то имеет место следующая формула:
которая называется формулой интегрирования
по частям.
Основные методы интегрирования для определенного интеграла применяются так же, как и для неопределенного. Следует, однако, учесть следующие особенности:
- при замене переменной необходимо изменить пределы интегрирования (тогда не нужно возвращаться к старой переменной, как в неопределенном интеграле), а после нахождения первообразной воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
- при использовании метода интегрирования по частям необходимо ещё воспользоваться формулой Ньютона- Лейбница.
Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
Если на отрезке [a; b] функция
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху кривой
,
снизу осью 0X,
справа и слева прямыми
и
(рисунок 1), вычисляется по формуле:
(4.1)
2. Если
на отрезке [a;
b],
то площадь фигуры (рисунок 2) вычисляется
по формуле:
(4.2)
3. Если функция меняет знак на отрезке [a; b], то площадь фигуры (рисунок 3) вычисляется по формуле:
,
(4.3)
где интегралы по отрезкам, на которых функция отрицательна, берутся по абсолютной величине.
4. Если на одном и
том же отрезке [a;
b]
заданы две функции:
и
,
причем
для любых
то площадь фигуры (рисунок 4) вычисляется
по формуле:
(4.4)
5. Если фигура
ограничена сверху разными линиями,
заданными на разных отрезках (рисунок
5), имеющих один общий конец:
при
и
при
,
то площадь такой фигуры определяется
по формуле:
(4.5)
Задание 6. Вычислить
площадь фигуры ограниченной графиками
функций
и
Решение
Изобразим фигуру,
площадь которой надо найти, на координатной
плоскости. Графиком функции g(x)
является парабола, ветви которой
направлены вверх. Найдем производную
функции
.
Находим координаты вершины параболы
С:
Точки пересечения параболы с осями координат:
С
осью ох:
;
;
C
осью оу:
х=0;
Графиком функции
является
прямая, которую можно построить по
двум точкам с координатами
Рисунок 2 к задаче №6
Найдем точки пересечения графиков функций
;
Площадь S
фигуры ABC,
ограниченной графиками функций, находим
по формуле
.
Где
для всех
Так как
при
,
то
Ответ
6. Объем тела,
образованного вращением вокруг оси ox
криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной
кривой
и прямыми
(рисунок 6), равен
(4.6)
0
y
x
b
Рисунок 6
a
y=f(x)
7. Объем тела,
образованного вращением вокруг оси oy
криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной кривой
и прямыми
(рисунок 7), равен
(4.7)
Несобственные интегралы.
Если функция f(x)
непрерывна при
,
то несобственным интегралам
называется
.
Если этот предел существует и конечен,
то интеграл называется сходящимся. В
противном случае интеграл называется
расходящимся.
Аналогично определяются интегралы
Если функция f(x)
непрерывна при
и имеет разрыв II
рода в точке c,
то несобственным интегралом
называется
Так же, как и выше, несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.
Если же точка разрыва находится в конце промежутка, то:
при c=a
при c=b
Если при
и
сходится, то
сходится. Такая сходимость называется
абсолютной.
Если при
и
расходится, то
расходится.
Если при
предел
конечен и не равен нулю, то оба интеграла
одновременно либо сходятся, либо
расходятся.
Аналогичные признаки сходимости можно указать и для несобственных интегралов от разрывных функций.
Р Я Д Ы