Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x→ a, если

lim_{x→ a}f(x) = lim_{x→ a}g(x) = 0.

Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел lim_{x→ a}f(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x→ a-0 (x→a+0), x→±∞.

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая δ - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x)≠ 0,

lim_{x→ a}f(x) = lim_{x→ a}g(x) = 0.

Тогда если существует lim_{x→ a}f'(x)/g'(x), то существует и предел lim_{x→ a}f(x)/g(x), причем справедливо соотношение

lim_{x→ a}f(x)/g(x) = lim_{x→ a}f'(x)/g'(x).

Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида ∞/∞

Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x_→ ∞. Попробуем применить правило Лопиталя

lim_x→∞ (x+sin x)/(x-sin x) = ∞/∞= =lim_x→ ∞ (x+sin x)'/(x-sin x)' = lim_x→ ∞ (1+cos x)/(1-cos x),

но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:

lim_x→ ∞ (x+sin x)/(x-sin x) = lim_x→∞ (1+sin x/x)/(1-sin x/x) = 1

Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.

Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞ часто встречаются неопределенности видов: 0· ∞, ∞-∞, 1^∞, 0^∞, ∞⁰. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1∞, 0∞, ∞⁰. Каждая из этих неопределенностей имеет вид

y = f(x)g(x),

(4)

где lim_{x→ a}f(x) = 1;0; ∞, lim_{x→ a}g(x) = ∞;0, Прологарифмировав выражение (4), получим (при f(x)>0 )

ln y = g(x)ln f(x).

Последнее выражение представляет собой при x_→ a неопределенность вида 0· ∞. Покажем, как свести неопределенность вида 0· ∞ к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞

Пусть y = f(x)g(x), где lim_{x→ a}f(x) = 0, а lim_{x→ a}g(x) = Ґ. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x_→ a неопределенность вида 0/0.

Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.

Пример 1. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:

1. lim_x→0(e^ax-e^-2ax)/ln (1+x) = 0/0= lim_{x→ 0}(ae^ax+2ae^-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.

2. lim_x→∞(e^1/x2-1)/(2arctg x²-p) = 0/0= lim_x→ ∞(-2x^-3e^1/x2)/(4x/(1+x⁴)) = lim_x→ ∞-e^1/x2(1+x⁴)/2x⁴ = -1/2.

3. lim_{x→ 1}(1/ln x-1/(x-1)) = ∞-∞ = lim_{x→ 1} (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = lim_{x→ 1}(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = lim_{x→ 1}(x-1)/(xln x+x-1) = lim_{x→ 1}1/(ln x+2) = 1/2.

4. lim_{x→ +0}(1/x)^{sin x}. Пусть y = (1/x)^{sin x}, тогда ln y = sin xln (1/x),

lim_x→+0ln y = lim lim_{x→ +0}sin xln (1/x). lim_{x→ +0}ln y = lim_{x→ +0}(-ln x)/(1/sin x) = lim_{x→ +0}(-1/x)/(-cos x/sin²x) = lim_{x→ +0} sin²x/(xcos x) = 0.

Следовательно, lim_{x→ 0} y = e⁰ = 1.