4.3. Свойства пределов функции
Пусть все функции, рассматриваемые ниже, определены на (а, в), кроме, быть может, фиксированной точки хо а в, тогда верны следующие свойства:
1. Если х х х и
А
=
=
=
A.
2.
Если х
С сonst
x
C
3. Если cущ. с const
4.
Если существуют конечные пределы
и
,
тогда:
а)
;
б)
;
в)
=
.
Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей. Для доказательства этих свойств введем понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций.
4.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение 4.4. Функция х называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при х хo, если
Лемма 4.2. Предел существует и равен А х х
где х бесконечно малая.
Доказательство: Пусть , то, полагая
х
х,
получим
.
обратно,
если х
х
и
.
Из леммы 3.2.
следует, что если
,
то в некоторой окрестности Охо
знак
f(х)
(х
совпадает
со знаком числа А.
Определение
4.5.
Функция f = f(x) называется бесконечно
большой
при х
хо,
если
x
x
x
xo
,
x < xo.
В этом случае будем писать
.
Если х х х ххо
х
хо
,
(
).
По аналогии с
конечными односторонними пределами
определяются односторонние бесконечные
пределы
,
.
Замечание.
Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.
Пусть
х
х
при х
хо
есть
в бесконечно малой (или бесконечно
большой) тогда
бесконечно
большая (бесконечно малая).
В
дальнейшем будем использовать
символические записи для любого числа
а>0 :
,
,
,
,
,
.
Рассмотрим свойства бесконечно малых функций.
1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, определенная на общем множестве, есть величина бесконечно малая при х хо.
2) Произведение ограниченной при х хо функции на бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
2") Произведение конечного числа бесконечно малого при х хо есть функция бесконечно малая.
3) х n - ( n - целая положительная степень) х бесконечно малая тогда и х n бесконечно малая.
4) Что касается отношения двух бесконечно малых
,
-
может быть функция произвольного
поведения.
Но с помощью действия деления можно сравнить между собой бесконечно малые.
Определение
4.6.
х
х
бесконечно малые при х
хо
имеют одинаковый порядок, если их
отношение имеет конечный предел, отличный
от нуля, т.е.
=K
0.
Определение
4.7.
Порядок бесконечно малой
х
выше порядка бесконечно малой х,
если отношение
есть
бесконечно малое при х
хо,
т.е.
=
0.
В этом случае пишут х х при х хо
Определение 4.8. Бесконечно малая х имеет предел n относительно бесконечно малой х при х хо если
=
K
0.
Докажем одно из свойств сформулированных в1.5.3., например, свойство
4. Если существуют конечные пределы и , тогда:
Доказательство:
Пусть
,
Тогда имеем на основании 3.2. х х gх х где х х бесконечно малые при х хо
Тогда х gх х где х х х х
есть бесконечно малая х бесконечно малая на основании свойств бесконечно малой функции.
Отсюда
.
Рассмотрим в качестве примера предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге.
Теорема
4.3.
Первый
замечательный предел.
Предел отношения синуса бесконечно
малой дуги к самой дуге, выраженной в
радианах, равен единице,
.
Доказательство:
Пусть
х > 0 и х
0, так что 0 < х
<
.
Рис.4.4.
В тригонометрическом круге R = 1 рассмотрим S ОАВ, S cек. ОАВ, SОАВ
SОАВ
=
SОАВ
=
Получаем
т.е. Sin x < x < tg x разделим на Sin x > 0, получим
1 <
или
cos x <
.
Пусть
теперь х
0 + 0, но
т.к.
1 - cos x = 2 sin2
бесконечно малая по условию,
то
.
Тогда функция
заключена
между двумя функциями, имеющими
предел, равный 1.
На основании
свойства 1, получаем
.
Если х < 0 ;
имеем
,
где - х > 0.
Поэтому
.
З а м е ч а н и е. х sin x x причем равенство имеет место при
х = 0.
Теорема 4.3. Второй замечательный предел. (Число е).
Ранее
было доказано, что последовательность
имеет
предел, заключенный между 2 и 3.
Можно
доказать, что функция у =
,
х
при х
стремится к е:
е
=
.
Пусть
,
тогда e
=
или
,
где е = 2,7182818284...