4. Предел функции

4.1. Определение предела функции

Определение 4.1. Пусть функция   f(х)  определена на некотором интервале (а,в). Число  А  называется пределом функции  f(х) в точке  х_о, т.е.

                                      ,

если               =      х   а, в),  удовлетворяющих условию

х  х_о       х  х_о                                              (4.1)

            f(x) - A                                                   (4.2)

 

Рис. 4.1.

Таким образом, число  А  называется пределом функции  f(х) в точке х_о A = ,  при  х  х_о   тогда и только тогда, когда для любого ()    существует ( ) такая дельта окрестность       точки х_о 

 х  а в    х    х_о      х  х_о      f  x       .

Замечание.

   Понятие предела, естественно, переносится на функции нескольких переменных.

         Пусть f (х, у)  -  функция двух переменных, заданная на множество  Х  плоскости Оху.

         Под окрестностью  О_а,в  точки  М_о  (а, в)  (а  и  в  - конечные)  будем понимать внутренность любого прямоугольника  {₁   х   ₁   ₂  у  < ₂  построенного вокруг  точки  М_о  (т.е.  ₁   а   ₁    ₂   в  ₂ ,  из которого удалена сама точка  М_о.

        В таком утверждении можно записать                                          

    o     _а,в      х у   _а,в     f x, y       

         При этом предполагается, что в любой  О_а,в     ху    в которых  f (х, у) имеет смысл (предельная точка).

4.2. Односторонние пределы функции

     Введем понятие левой и правой окрестности точки  х_о  - число.

Определение 4.2. Любой интервал  =  x_o (( = (x_о,  )), правым (левым) концом которого является точка  х_о, назовем ее левой (правой) окрестностью.

         Символически факт, что  х  принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки  х_о,  будем обозначать

 х  х_о  -  ,         х < х_о.

         Аналогично           х  х_о            х  х_{о .}

Определение 4.3. Число А называется пределом функции слева, если

f x  A   

И будем писать , где  Х - область определения  f (х).

Аналогично       - предел функции справа.

Замечание.

Можно, конечно,  ограничиться рассмотрением левых     окрестностей точки  х_{о :}   х_о       х_о        где          

                          x_o     x_o        где          

                        O(x_о - 0,  ) =  { х:  х_о -   <  x    х_о  },   >  0

                        O(х  + 0,  ) =  {х :  х_о     х  <  x_o +  },  > 0.

Рис. 4.2.

Пример 4.1.  

Рис. 4.3.

Пусть f(х) = sin х = ,определена для всех x  0.

 

Здесь , а    .

 

 

Теорема  4.1. Для существования предела функции f(х) при х  х_о (х_о - число)      fх_о  о  fх_о  о

Доказательство:    Пусть   ,

тогда     о         о   х х_о     f х     

и следовательно      х_о    х_о   и     = ( x_о ,  x_о  +  )   :

         А =      и  А =  .

         Обратно, если существуют пределы   А = f(x)  и  А =  ,   то      0    ₁    ₁     и   ₂   ₂   такие, что, если

              х_о - ₁  < х < х_о    и,  соответственно,   х_о   х  <  x_о + ₂  

                                                fх    

         Возьмем      = min {₁ ₂  f x        при  х х_о   

 х  х_о.   И тогда, согласно определения  3.1 .

Лемма  4.1.       Если  f(х)  имеет  предел в точке  х_о, то существует окрестность этой точки (быть может,  выброшенной точкой  х_о), на которой  функция ограничена.

Теорема 4.2.    (Правило замены переменного для пределов функции)

         Пусть существуют  _o, fх  у_о    х  х_о   и                              при  х  х_о   существует предел сложной функции F[f(x)]  и