26. Взаимное пересечение многогранников.

Два многогранника могут пересекаться по одной или двум замкнутым ломаным линиям, для построения которых находят точку пересечения ребер одного многогранника с гранями другого, а затем ребер второго с гранями первого, соединяя соответствующим образом полученные точки. Далее строят искомую ломанную, каждое звено которой представляет собой прямую пересечения двух граней – граней первого с гранями второго.

Таким образом при решении задачи на взаимное пересечение многогранников пользуются приемом, основанным на многократном решении задачи на пересечение плоскостей или прямой с плоскостью. Это возможно, т.к. многогранники в отличие от кривых поверхностей представляют совокупность плоских участков (граней), пересекающихся между собой по прямым линиям (ребрам). Линию пересечения двух многогранников можно построить двумя способами:

- найдя точки пересечения ребер каждой поверхности с гранями другой поверхности и соединив их в определенной последовательности;

- построив линии пересечения граней одного многогранника с гранями другого. Преимущество отдается тому из способов, который в зависимости от условий задания многогранников дает более простое решение. Линиями пересечения многогранников в общем случае являются пространственные замкнутые многоугольники.

В зависимости от вида многогранников и их взаимного расположения линиями пересечения могут быть один, два и более многоугольников.

Следует иметь в виду, что стороны этих многоугольников будут видимыми, если они являются результатом пересечения видимых граней, если хотя бы одна из пересекающихся граней невидимая (сторона многоугольника), то линия их пересечения - невидимая.

27. Аналитическое решение задачи о пересечении многогранника и прямой линии. Отсечение нелицевых граней.

Рассмотрим выпуклый многогранник. Для каждой грани построим вектор внешней нормали. Если вектор нормали грани составляет с вектором проектирования тупой угол ( 90 270), то эта грань не видима и она называется нелицевой. Еслиявляется острым ( 0 << 90 или 270 << 360), то грань видима и называетсял ицевой. Таким образом, еслиcos> 0, то грань лицевая, а еслиcos0, то грань нелицевая.

Вычисления существенно упрощаются, если точку зрения выбрать на оси Z, т.е. направление проектирования будет перпендикулярно плоскости XOY, то видимость плоскостей можно определить при помощи координаты Z их нормалей. Если координата Z нормали > 0, то грань видима, а если координата Z нормали  0, то грань невидима.

Пронумеруем все видимые вершины выпуклого многоугольника против часовой стрелки, а невидимые - по ходу часовой стрелки. Для определения координата Z нормали достаточно 3-х вершин

2

2

3

3

1

1

Взгляд снаружи

(видимая грань)

Взгляд изнутри

(невидимая грань)

Найдем: dX1=X2-X1; dY1=Y2-Y1; dX2=X3-X2; dY2=Y3-Y2;

Вычислим Z=dX1* dY2 - dX2* dY1

Если Z > 0, то грань видима. Если Z 0, то грань невидима.

28. Перспективное изображение. Центральное проецирование.

Центральный (конический или полярный) метод проецирования основан на том, что при проецировании на плоскость ряда точек (А, B, C и т.д.) все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проецирования, или полюсом.

Представим в пространстве треугольник АВС и проецирующие лучи, проходящие через данный полюс S и через точки АВС треугольника, проведенные до пересечения с плоскостью α. Треугольник А₁B₁C₁ будет центральной проекцией треугольника АВС (рис.2).

Метод центрального проецирования не удовлетворяет целому ряду условий, необходимых для технического чертежа, а именно: не дает однотипности изображения, полной ясности всех геометрических форм, не обладает удобоизмеримостью, не имеет простоты изображения.