13. Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскостям проекций.

Длину отрезка прямой АВ можно определить из прямоуг. треугольника АВВ’, в кот.:

• АВ’=А1В1 – проекция АВ на П1

• ВВ’=дельта Z- разность расстояний т. А и В от П1.

• Альфа- угол между натуральной величиной и соотв. проекцией, определяет угол наклона отрезка Ав к П1

А налогичные построения, позволяющие найти натуральную величину и углы наклона к плоскостям П2 и П3 можно произвести соотв. на плоскостях П2 и П3.

Таким образом, метод прямоуг. треугольника для нахождения натуральной величины и углов наклона к плоскостям проекций:

Натуральная величина отрезка общего положения – это гипотенуза прямоуг. треуг., построенного на Ex катетах: первый- проекция на одну из плоскостей П1,П2,П3; второй – разность координат между вершинами исходного отрезка,взятые по отношению к той плоскости, на кот. был взят первый катет.

14. Взаимное расположение двух прямых линий.

Пересекающиеся – имеют одну общую точку проекцией, которой расположены на одной проецирующей связи.

Параллельные прямые – проекция параллельных прямых на любую плоскость, которой они не перпендикулярны параллельны.

Скрещивающиеся – если прямые не параллельны и не пересекаются, то они скрещиваются.

Перпендикулярные – для этого случая должна выполняться теорема о проецировании прямого угла: Для того, чтобы прямой угол проецировался на какую-то плоскость без искажения, необходимо и достаточно чтобы одна из его сторон была параллельна исходной точке проецирования, а другая не перпендикулярна ей.

15. Алгоритм вычёркивания(Брезенхема) :

f(x,y)=Ax+By+C=0

где коэффициенты A и B выражаются через коэффициенты k и b уравнения прямой. Если прямая проходит через две точки с координатами (x1;y1) и (x2;y2), то коэффициенты уравнения прямой определяются по формулам

A=y2-y1 B=x1-x2 C=y1∙x2-y2∙x1

Для любой растровой точки с координатами (xi;yi) значение функция

• f(xi,yi)=0 если точка лежит на прямой

• f(xi,yi)>0 если точка лежит ниже прямой

• f(xi,yi) где i – номер отображаемой точки.

Таким образом, одним из методов решения того, какая из точек P или Q (см. рисунок) будет отображена на следующем шаге, является сравнение середины отрезка |P-Q| со значением функции f(x,y). Если значение f(x,y) лежит ниже средней точки отрезка |P-Q|, то следующей отображаемой точкой будет точка P, иначе — точка Q. Запишем приращение функции

∆f=A∆x+B∆y

После отображения точки с координатами (xi,yi) принимается решение о следующей отображаемой точке. Для этого сравниваются приращения Δx и Δy, характеризующие наличие или отсутствие перемещения по соответствующей координате. Эти приращения могут принимать значения 0 или 1. Следовательно, когда мы перемещаемся от точки вправо,

• ∆f=A,

когда мы перемещаемся от точки вправо и вниз, то

• ∆f=A+B,

когда мы перемещаемся от точки вниз, то

• ∆f=B

Нам известны координаты начала отрезка, то есть точки, заведомо лежащей на искомой прямой. Ставим туда первую точку и принимаем f = 0. От текущей точки можно сделать два шага — либо по вертикали (по горизонтали), либо по диагонали на один пиксель. Направление движения по вертикали или горизонтали определяется коэффициентом угла наклона. В случае если угол наклона меньше 45º, и

• |A|<|B|

с каждым шагом осуществляется движение по горизонтали или диагонали.