11 Сурет – Дихотомия әдісімен максимумды іздеу графигі.
Итерацияны шексіз жүргізуге болады: барлық кіші кесінділерді екіге бөлу. Сондықтан кез-келген итерациялық алгоритмде, есептеуді қай уақытта тоқтатуға болатынын анықтайтын тоқтату ережесін беру керек, яғни алынған дәлдік жеткілікті деп есептеу. Мысалы, анықсыздықтың интервалы ε төмен болған кезде итерацияны тоқтатуға болады:
δ = b-а ≤ε (53)
Дихотомия алгоритмінің тиімділігі келесідей анықталады: есептеудің әрбір жұбы (л және п нүктелері) кесіндіні [a,b] екі есеге азайтады. Бастапқы кесіндіні икс индекспен белгілейміз. Егер q есептеулер жасасақ (q- жұп), онда
δ = (b-а)баст./ 2q/2 (54)
Әдебиет: 2 нег. [89-255].
Бақылау сұрақтары:
1. Оптималдаудың қандай әдістерін білесіз?
2. Артық жинау әдісінің әрекеті мен мәнін түсіндіріңіз.
3. Сканирлеу әдісінің әрекеті мен мәнін түсіндіріңіз.
4. Дихотомия әдісінің әрекеті мен мәнін түсіндіріңіз.
5. Унимодалы функция дегеніміз не?
№ 15 дәріс: Оптималдау әдістері. Екінші топ: сандық әдістер (алтын қима, координатты түсу, градиенттік әдіс, кездейсоқ ісдеу әдісі). Үшінші топ: Оптимумды экспериментті іздеу.
г) Алтын қима. Алтын қима пропорциясы (кесіндінің ортадағы және шеткі қатынаста бөлінуі) келесідей анықталады. Кесінді ұзындығын l екі бөлікке m және l-m кіші бөлігінің үлкен бөлікке қатынасы үлкен бөліктің барлық кесіндіге қатынасы болатындай етіп бөлеміз.
m l-m
------ = --------- (55)
l-m l
m ~ 0,382 l = (1-0,618) l; l-m ~ 0,618 l; m ~ 0,618 (l-m) екенін өте жеңіл есептеуге болады.
Қайтадан, максимумды табатын кесіндіні [a,b] қарастырамыз (12 сурет). Максимумды іздеуді кесіндіні оңынанда, солынанда алтын қимаға қатысты бөлуден ьастаймыз – л және п нүктелерін аламыз. а-дан л-ға дейінгі ара қашықтық ~ 0,382 (b-а), а-дан п -ға дейінгі ара қашықтық ~ 0,618(b-а) құрайды. Осы нүктелерде F мәнін есептейміз.
Дихотомия әдісіндегі сияқты, мұндада л және п нүктелері бар; дегенмен, дихотомиядан ерекшелігі олардың арасындағы ара қашықтық аз емес, және экстремум нүктесінің солардың арасына түсу ықтималдығы жеткілікті жоғары. Сондықтан, егер F(л) <F(п) (12 сурет), онда үш бөліктің қайсысында максимумның болатынын айту қиын – ол кесіндінің орта бөлігінде бола алады (сол жақ пунктирі, 12 сурет), оң бөлігінде болуы мүмкін (оң жақ пунктирі). Бірақ, сол жақ бөлімінде максимум бола алмайды (біз функция унимодалды деп қабылдадық). Сондықтан, оны ескермеуге болады – кесіндінің сол шетін в л нүктесіне келтіріп, оны а (сол жақтағы тіл) деп атаймыз. Енді есеп бастапқы тұжырымға келген сияқты: [a,b] кесіндісіндегі максимумды табу. Дегенмен кесіндінің бұл бөлімшесінде фугкцияның мәні есептелген нүкте бұрыннан бар (п нүктесі), жәнеде (55) қасиеті арқасында бұл нүкте, алдыңғыда оң жағынан үлкен бөлікті қиып алған ~ 38,2 %, жаңадан оң жағында азайған кесінді бөледі ~ 61,8 %, яғни жаңа кесіндіде ол алтын қима нүктесі деп аталады. Енді есептеудің жаңа этапында біз оны л (12 суретте оң жағындағы тіл) деп атаймыз және азайтылған кесіндіде Ғ есептеу үшін екі нүкте емес, ал бір нүкте – оң жағындағыны саламыз (суретте үшбұрышпен белгіленген). Сонымен, есептеудің әрбір этапында, ең біріншіден өзге, Ғ-ны тек бір нүктеде есептеуіміз қажет, бұл әдістің тиімділігін арттырады.
Тоқтату ережесі ретінде теңдеуді (53) қолдануға болады.
F
а л п b x