1. Модельдер сыныптамасы. Жүйелердің негізгі байланыстары.

2. Модельдердің «традуктілік» ұғымы. «Жүйелер» ұғымы, жүйелер сыныптамасы.

3. Математикалық модельдердің түрлері. Модельдің ішкі және сыртқы параметрлері.

4. «Қара жәшік» принципі. Қандай жүйелер мен процестерді білесіз?

5. Математикалық модельдерді қалай жіктеуге болады? Жүйенің байланыстарын атаңыз.

6. Математикалық модельдеу әдісіне қандай талаптар қойылады?

7. Математикалық модельдеу әдісінің негізгі мақсаты не?

8. Математикалық модельдеудің негізгі сатыларын атаңыз?

9. Жүйенің, жүйе элементтерінің, және жүйешелердің анықтамасын келтіріңіз.

10. Жүйенің құрылымын анықтаңыз. Қандай жүйелерді ашық, қандай жүйелерді жабық деп атайды?

11. _{Анықсыздық дәрежесі бойынша жүйенің сыныпталуы}

12. Жүйелер мен процестер сыныптамасы. Теріс және оң кері байланыстар.

13. Басқару процесінің ақпараттық сатылары.

14. «Қара жәшік» принципі. Жүйенің кіріс және шығыс байланыстарын атаңыз.

15. Математикалық модельді құрудың сатыларын атаңыз.

16. Конструктивті класқа қандай параметрлер жатады?

17. Физикалық класқа қандай параметрлер жатады?

18. «Элементарлық» процестерін сипаттау параметрлерінің сыныбына қандай параметрлер жатады?

19. Математикалық сипаттаманың құрамына не кіреді?

20. Тұтас орталар моделіне анықтама беріңіз.

21. Стационарлық процестерге анықтама беріңіз.

22. Стационарлық емес процестерге анықтама беріңіз.

23. Объектінің кірістері мен шығыстарын қалай анықтайды?

24. Оптималдау міндеттерін тұжырымдау.

25. Оптималдау критериясы дегеніміз не?

26. Шектеулер дегеніміз не, оладың пайда болу себептерін атаңыз.

27. Оптималдаушы факторларға жататындар.

28. Оптималдаудың қандай әдістерін білесіз?

29. Оптимумды іздеу әдістері неше топтарға бөлінеді?

30. _{Жүйелердің күрделілік деңгейі бойынша қалай сыныпталады}?

№ 1 дәріс. Кіріспе

Математикалық модельдеу әдісі металлургия саласында жүргізілетін зерттеулерде алдыңғы орындардың бірін алады. Математикалық модельдеу металлургиялық процестер мен жүйелерді зерттеу, жұмыс істеуші өндірістерді оптималдау, басқарудың автоматтандырылған жүйелерін жобалау кезінде қолданылады.

Бұл әдіс ғылыми зерттеудің уақытын қысқартуға және сонымен қатар нақты объектіде жүргізуге мүмкіндік болмайтын эксперименттерді (мысалы, экспериментпен байланысты үлкен шығындар болған кезде) модельдерде қоюға мүмкіндік береді.

Егер модельдер туралы жалпы айтатын болсақ, онда олар материалдық және абстрактті болып бөлінеді. Материалдық модельдерді түсіну оңай. Оларды бейнелеу моделіне және аналог-модельге бөлуге болады. Бейнелеу моделі жүйенің сыртқы сипаттамасын көрсетеді, олар: фотосуреттер, карта, скульптура. Аналог-модельдерде қасиеттердің жиынтығы басқа қасиеттердің жиынтығы арқылы модельденеді: электр сигналдары көмегімен механикалық ауытқуларды модельдеу.

Ал абстрактілі модельдерді (математикалық немесе символдық) қарастырсақ, оның мысалы графиктер, теңдеулер, кестелер және алгоритм бола алады.

Математикалық модельдер келесідей жіктеледі:

- ықтималды (ықтималды элементтерден тұрады) және детерминделген (ықтималды элементсіз немесе параметрлері белгілі тәртіпте анықталған);

- статикалық (бірмоментті, немесе күрделі жүйенің қызметін уақыттың белгілі бір кезеңінде бейнелеу кезінде) және динамикалық (жүйенің қызметін уақыттың бірізді кезеңдерінде қайталау;

- имитациялық (қандайда бір жүйенің жұмысын бейнелеу үшін) және оптималдау (жүйені оңтайландыру үшін).

Егер процестің негізгі айнымалылары кеңістікте және уақыт бойында өзгеретін болса, онда мұндай процестерді сипаттаушы модельдерді бөлінген параметрлі модельдер деп атайды және оларды жеке туындыда дифференциалдық теңдеулер түрінде көрсетеді.

Процестің негізгі айнымалылары тек қана уақыт бойында өзгерген кезде мұндай процестерді сипаттайтын үлгілерді параметрлері тиянақталған үлгілер деп атайды және олар жай дифференциал теңдеулер түрінде көрсетіледі.

Математикалық модельді құру барысында нақты құбылыстар жеңілдетіледі, жүйеленеді және модельді дұрыс таңдалуынан, оның қаншалықты қарастырылатын процесті сипатты көрсетуіне зерттеудің табыстылығы мен алынған нәтижелердің құндылығы тәуелді болады. Модельде процеске әсер етуші барлық факторлар ескерілуі қажет, дегенмен ол майда, екінші қатардағы факторлармен артықша жүктеудің қажеті жоқ, өйткені оларды есептеу математикалық талдауды және зерттеудің нәтижесін қиындатады.

Модель міндетті түрде модельденетін процеске сәйкесті (адекватты) болуы керек, яғни ол модельденетін процесті сапалық және сандық жағынан дұрыс сипаттауы қажет.

Модельдеудің маңызы болуы үшін ол екі талапты қанағаттандыруы қажет:

1. Үнемділік: модельде жүргізілетін зерттеу нақты технологиядағыға қарағанда үнемді болуы қажет. Олай болмаған кезде зерттеуді технологияның өзінде тікелей жүргізу тиімді болады.

2. Традуктивтілік (өткізу, өту). Бұл талап модельді сынау нәтижесі бойынша технологияның бізге қажетті параметрлерін қалай анықтауымыз керек екенін көрсетеді. Бізді барлық уақытта сандық традукция қызықтырады. Модельдеу нәтижесінде технологиялық процесті жасауға болатынын біліп қою жеткіліксіз, сонымен қатар оны есептеу және оптималдау мүмкіндігінің болуыда маңызды.

Экономикалық тиімділік шарты орындалуы үшін үлгінің қандай болу қажеттігі түсінікті, ал модельдеудің традуктивті екенін көрсететін шарттарды анықтау күрделі болады. Жалпы, модельдеу теориясымен шешілетін негізгі мәселе – бұл традукция, модельдеудің тиімді нәтиже беретін шарттары және оны жүзеге асыру мәселелері. Модельдеудің әртүрлі әдістері – бұл традукцияның әртүрлі типі десекте болады.

Сонымен, физика-химиялық процесті көрсететін модель, математикалық жазу түрінде беріледі, тәжірибелік фактілерді біріктіреді және зертелетін процестің параметрлері арасында өзара байланысты орнықтырады. Бұл кезде теориялық әдістер мен қажетті эксперименттік деректер қолданылады. Математикалық модельді әзірлеудің түпкілікті мақсаты – процесті жүргізу нәтижелерін болжау және оның беталысына әсер ететін мүмкіндіктер бойынша ұсыныстар әзірлеу. Ақырында, химия-технологиялық процесті модельдеудің мақсаты – оны алдыңғы қатарлы жүзеге асыру, оны оптималдау.

Әрине, адам өзінің әрекетін барлық уақытта оның нәтижесі оны қанағаттандыратындай және өте жоғары болатындай етіп ұйымдастыруға тырысады. Дегенмен, 20-30 жыл бұрын жеке өндірістердің және өндірістің жеке сатыларының оптималдануы бір-бірінен оқшауланған түрде шешілді решались. Жәнеде көп жағдайларда, мәселені шешу кезінде қандай режимнің немесе нұсқаның оптималды екенін анықтауда зерттеушінің, жобалаушының, қолданушының тәжірибесі мен сезімталдығы маңызды роль атқарды. Бұл технологиялық процестің күрделілігімен, көлемділігімен, әрбір процестің ішкі өзара байланыстарының әртүрлілігімен түсіндірілді.

Оптималдау мәселесін тиімді шешу үшін берілген технологияның өте көп нұсқаларын қарастыру қажет болды. Дәстүрлі әдістер негізінде мұндай бағалаулар және салыстырулар жүргізу мүмкіндігі болған жоқ. Сондықтан осындай үлкен роль адамның сезімдік еншісіне тиді, және сондықтан процестердің оптималдануы т

иімсіз жүргізілді. Көбінесе әзірлеу сатысында ең жақсы нұсқа таңдалмады, және өндірісті іске қосқаннан соң сансыз өзгеріс енгізу басталды: процесті жақсартуды сипалап тапты десек болғандай. Мұндай қайта жасау (өзгертулер) 10-15 жылға дейін созылды. Қазіргі уақытта химия-технологиялық процеске, өте қажетті саты ретінде, оптималдау міндетті түрде енгізіледі.

Ғылыми таным әдісі бола отырып, математикалық модельдеу әдісі барынша кеңінен таралуда. Кейбір жағдайларда математикалық модельдеу ерекше күрделі ғылыми мәселелерді шешуде жалғыз әдіс болып табылады, мысалы, өндірісті орталықтандырып басқару жүйесін құру кезінде пайда болатын мәселелерді шешуде. Бұл әдіс жүйені және процесті көрсетуге және модельде экспериментті жүргізуге мүмкіндік беретін математикалық модельді құруға негізделген.

Бұл курсты оқу гидродинамика, масса- және жылуберіліс, химиялық кинетика және термодинамика негіздерін білуді талап етеді, өйткені көп жағдайда металлургиялық технологияның типтік процесінің моделі жоғарыда келтірілген процестердің бәрін қамтиды. 1 суретте жеті бірізді сатыға бөлуге болатын, аналитикалық зерттеудің жүргізілуінің жалпы сұлбасы келтірілген.

Бірінші саты, ең маңызды саты – тапсырманы құру, барлық жағдайлар үшін тиімді болатын жалпы ереженің болмауына байланысты маңызды болады. Техникалық проблемалар әртүрлі болатындықтан, талдаудың табысты болуы үшін берілген нақты тапсырманың табиғаты айқын болуы қажет. Тапсырманың құрылуы талдаудың мақсатын ғана емес, сонымен қатар оны шешу жолдарында анықтайды.

Міндеттің → Процестің теориялық → Модельдің теңдеулерін → Модельді →

қойылуы негіздерін зерттеу құрастыру құру

→ Шешу әдісін таңдау → Шешімі → Алынған ақпаратты талдау

1 Сурет – Математикалық модельдеу процесінің жалпы сұлбасы

Екінші саты – бұл проблеманың негізінде жатқан құбылыс механизмі бағынатын іргелі заңдардың анықтамасы. Процестердің теориялық негіздері жарияланған және жарияланбаған әртүрлі көздер бойынша зерттеледі. Егер қанағаттандыратын теорияны іріктеп алуға мүмкіндік болмаса, онда постулаттарға сүйенеді. Соңғының дұрыстығын, қабылданған постулаттардың негізінде құрылған математикалық үлгінің нәтижелерін эксперименттік мәндермен салыстыру арқылы тексереді. Осындай әдіспен бірнеше мүмкіндікті теориялардың ішінен зерттелетін құбылыстың мәнін қайсысы дұрысырақ көрсететіні айқындалады.

Үшінші саты. Шешілетін тапсырмаға қолданбалы, таңдап алынған физикалық модель негізінде, сәйкес математикалық теңдеудің жүйесі жазылады. Берілген сатыда ешқандай әрекет жасау қажет емес, тек қана қажетсіз мүшелерді алып тастап теңдеуді қысқартуға болады. Оларды алар алдында, тапсырманы орындауға қажетсіздігіне көз жеткізу және мұқияттық қажет. Кейді кейбір ауыспалылардың ауытқуын ескермей, тұтас теңдеулерді қарастырудан алып тастауға болады. Мысалы, айтайық, жылу балансы теңдеуіне кіретін көпкомпонентті қоспаның меншікті жылусыйымдылығы, қоспа құрамының аз өзгеруі әсерінен, тек номиналдық мәннен 1 % ғана өзгереді, көп жағдайда оны ескермеуге болады. Сонымен, математикалық теңдеуге теңдеуді енгізу алдында оның құрамына кіретін ауыспалылардың модельдеу нәтижесіне қалай әсер ететінін және мүмкіндігінше әлсіз әсер етуші ауыспалыларды ауыспалы тұрақты орташа шамалармен ауыстыру керек.

Төртінші саты. Теңдеулер құрастырылып болған соң, олардың біріккен жүйесін шешу әдісі анықталады.

Бесінші саты. Процесті зерттеуді жүргізу деңгейінің және модель теңдеуінің күрделілігіне тәуелді тапсырманы шешудің бірнеше әдістерінің біреуі таңдалады.

Алтыншы саты – модельдің талдауы. Модельді талдаудың үш негізгі деңгейін бөліп көрсетуге болады. Егер қиын емес мәселені шешу қажет болса, және теңдеу барынша қарапайым болса, онда жауабын оған кіретін теңдеулерді шешпей-ақ, модельді қарау жолымен алуға болады. Яғни, бұл әдістің күрделі теңдеулерге таратылмайтыны айқын.

Талдаудың келесі деңгейі күрделілігі шектелген тапсырмаларға арналған, ол теңдеуді аналитикалық әдіспен шешумен байланысты. Жай сызықсыз теңдеулер жүйесін шешу үшінде жоғары кәсіптілік керек.

Дербес компьютерді қолданумен жүргізілетін, талдаудың үшінші деңгейі жоғары күрделілікті есептерді шешуде жалғыз тиімді және нәтижелі деңгей болып табылады.

Жетінші саты – математикалық модельдерді шешу кезінде алынған нәтижелерді зерттеу және оны мақұлдау.

Есептеуші техниканы қолданғанға дейін, математикалық модельдеу процесінде, негізінен, екі «жіңішке орын» болды – проблеманы талдау және математикалық модельді құру нәтижесінде алынған теңдеуді шешу. Көбінесе математикалық модельді құруға жұмсалған күш босқа кетіп жатты, өйткені оны сипаттайтын теңдеу ешқандай шешілмеді. Сондықтан, аналитикалық жол таза академиялық түрде болды және өнеркәсіпке қолдануға құқығы болмады.

Техникалық проблемаларды тиімді шешудің тәжірибелік жолы эксперимент қою болып табылды. Соңғы 10 – 15 жылдың ішінде есептеуші машиналарды, дербес компьютерлерді қолдану кеңінен орын алуда; машина тілдері оның ішінде модельдеу тілдері біріктірілді; осыған байланысты әрбір нәтижелер талдаумен және математикалық үлгіні құрумен байланысты қиындықтарды дербес компьютер көмегімен шеше алатын болды. Сонымен, екінші «жіңішке орынның» проблемасы – теңдеудң шешу – қазіргі кезде жоқ десекте болғандай. Мұны сенімді айтуға болады.

Әдебиет: 1 нег. [3-7], 3 қос. [13-20].

Бақылау сұрақтары:

1. Математикалық модельдерді қалай жіктеуге болады?