4. Расчет тормозных систем

Расчет тормозной системы с деформируемой шайбой (рис. 2) позволяет получить большие пути торможения объекта (до 200 – 300 мм) при малых деформациях шайбы. Сила сопротивления, определяющая закон перегрузки, возникает за счет торможения движущейся болванки с конусным наконечником в металлической шайбе, устанвленной на неподвижном основании. Уравнение движения падающих частей может быть записано следующим образом

(4.1)

Рис.2

В озникновение динамической составляющей силы сопротивления обусловлено, главным образом, зависимостью коэффициента трения от скорости скольжения, а также влиянием динами-ческого нагружения на механические свойства материала шайбы.

Статистические зависимости F_ст(l) для различных пар наконечников и шайб, полученные экспериментально, приведены на (рис. 3). Видно, что в первом приближении функцию F_ст(l) можно считать линейной, т.е.

F_ст(α)= α_т*l, (4.2)

где α_т – коэффициент жесткости тормозного устройства; l – перемещение.

На (рис. 4) показаны зависимости коэффи-циента α_т от угла профильной шайбы Ф _ш (материал наконечника сталь Уl2А, HRC 58-60; шайбы – ст3).

Анализ результатов предварительных ударных испытаний показывает, что зависимость коэффициента трения от скорости можно выразить следующим образом:

, (4.3)

где b – эмпирический коэффициент.

(Рис. 3) (Рис. 4)

Поскольку для начальной скорости удара v₀ = 5-20 м⁄с скорость деформации шайбы не превышает (для наконечника конусностью k = 1 - 20) 0,1 … 0,5 м⁄с, следует принять е(v) = 1. Таким образом, уравнение движения принимает вид

; (4.4)

(4.5)

Интегрируя это уравнения, получаем

(4.6)

При v = 0 максимальный путь торможения

(4.7)

и, следовательно, максимальная перегрузка

(4.8)

Скорость v нельзя выразить через l в явном виде и, следовательно, нельзя найти аналитическое выражение для длительности переднего фронта τ. В связи с этим целесообразно уравнение движения решать либо методом последовательных приближений, либо численно.

На (рис. 5) приведены безразмерные зависимости (t) для различных

(Рис. 5)

Из графиков видно, что v₀ существенно влияет на форму ударного импульса.

К онечные параметры ударного процесса n_max и τ могут быть найдены с помощью вспомогательных функций:

{ (4.9)

значения которых определяются в результате решения уравнений движения на ЭВМ.

Создание в лабораторных условиях интенсивных ударных импульсов с большими фронтами возможно при использовании пневматического тормозного устройства.

К числу достоинств пневмодемфера следует отнести его многоразовое действие, а также возможность воспроизведения импульсов различной формы, в том числе и со значительным задним фронтом.

Расчетная схема пневмодемфера приведена на (рис. 6). Сила сопротивления, обуславливающая закон n(t), возникает вследствие давления воздуха, сжимаемого в замкнутом объеме при некотором начальном давлении и положении поршня l₀.

(Рис. 6)

При выводе расчетных соотношений примем следующие допущения:

- процесс сжатия адиабатический, поскольку время соударения весьма мало и процессами теплообмена можно пренебречь;

- сила трения при движении поршня в цилиндре и масса падающих частей, а также прорыв воздуха через кольцевой зазор не учитываются;

упругопластические деформации в зоне контакта падающего объекта с тормозным устройством не учитываются.

С учетом указанных допущений уравнение движения платформы с исследуемым объектом будет иметь вид:

(4.10)

где p - текущее значение абсолютного давления в цилиндре; p_a - атмосферное давление; p_и - избыточное давление.

В случае адиабатического сжатия

p = p₀(1-ε)^-γ (4.11)

где γ - показатель адиабаты (для воздуха γ = 1,4); ε - относительное смещение цилиндра и поршня: . Следовательно:

(4.12)

Пренебрегая (3.12), получаем

(4.13)

где v₀ и E₀ - скорость и кинетическая энергия падающих частей в момент начала удара. Из последнего соотношения, приняв v = 0, определим максимальный путь платформы

l_max = l₀ε_max, (4.14)

до полной её остановки:

(4.15)

а также максимальную перегрузку, действующую на объект:

(4.16)

Для определения зависимости элементов движения от времени необходимо вычислить интеграл

(4.17)

Поскольку он не может быть взят аналитически, получить точную зависимость изменения перегрузки во времени n(t) и значение переднего фронта τ (при ε = ε_max) невозможно. В связи с этим можно предложить приближенный метод, который основан на аппроксимации переднего фронта ударного процесса степенной зависимостью

(4.18)

где - начальное значение перегрузки; ν - коэффициент, харак-теризующий форму кривой перегрузки. Решив уравнение движения в виде

(4.19)

можно определить (при t = τ) начальную скорость и максимальное перемещение:

(4.20)

(4.21)

откуда нетрудно найти v и τ.

(Рис. 7)

Расчет гидропневмоамортизатора (на (рис. 7), где 1 – цилиндр, 2 – игла, 3 – уплотнительное кольцо, 4 – поршень, 5 – рабочая жидкость, 6 – редуктор, 7 – запорный вентиль, 8 – манометр МКД, 9 – амортизирующее устройство («наковальня») с резиновой прокладкой) сводится к выводу уравнений, определяющих основные его параметры: давление в гидроцилиндре P1; площадь зазора Sз; диаметр иглы dи. Рабочая площадь поршня (3.22) где D – диаметр поршня (гидроцилиндра); d – диаметр очка (отверстия в конце поршня); D и d задаются. Площадь зазора для протекания жидкости в воздушную полость, регулируемая иглой амортизатора, определяется следующим образом: (3.23) где dи – переменный диаметр иглы, следовательно, Sз = f(t). Учитывая (4.25)

в каждый момент времени

(4.26)

(4.27)

где a_i – это ускорение платформы в каждый i-ый момент времени; v₀ - скорость контейнера в момент встречи с амортизатором; n_max – заданная величина перегрузки; τ - заданное время нарастания перегрузки; t_i - текущее значение времени.

Перетекание жидкости в воздушную полость амортизатора описывается уравнением неразрывности жидкости:

(4.28)

где α - коэффициент сжатия струи жидкости, проходящей через очко поршня; α ≈ 1 (вследствие округления кромок очка); - скорость истечения жидкости через площадь зазора S_a в i-ый момент времени:

(4.29) Умножив обе части на соотношение , получим равенство, определяющее элементарную массу жидкости, проходящую через щель амортизатора за промежуток времени dt:

(4.30)

или

(4.31)

Кинетическая энергия массы будет

(4.32)

или (4.33)

При учете массы перетекающей жидкости уравнение неразрывности характеризуют кинетическую энергию потока, являющуюся мерой работы равнодействующих сил давления жидкости и воздуха, и сил трения уплотнительных устройств и направляющих.

Основное значение имеет только работа сил давления P₁:

(4.34)

а остальные факторы вносят лишь незначительную поправку в расчет, что в конечном счете учитывается при тарировке амортизатора корректированием профиля иглы.

Приравняв правые части уравнения (4.34) и (4.33), найдем

(4.35)

где k_c - корректировочный коэффициент, учитывающий гидравлическое сопротивление струи:

k_c = ζ_c + 1, (4.36)

где ζ- коэффициент сопротивления струи, характеризующей потерю кинематической энергии. Для амортизаторов подобного типа R_c - 1,4…1,6. Учитывая, что P₁S₀ = F_D ,

где F_D - сила, вызываемая давлением P₁; Q – вес движущихся частей стенда, получим

(4.37)

После окончания процесса торможения поршень возвращается в начальное положение за счет накопленной энергии сжатого воздуха в полости поршня.

Следовательно, в конечном положении поршня L объем жидкости, попавшей в камеру,

(4.38)

и объем воздуха в полости поршня

(4.39)

где - начальный объем воздуха.

Считая процесс сжатия воздуха политропным, можно определить и другие параметры:

степень сжатия

(4.40)

где P_в.к. - давление воздуха в плотности поршня после сжатия; P_в.0.- давление воздуха в поршне до сжатия; В – показатель политропы;

перепад температуры

ΔT =T₀(N_ν-1 – 1) (4.41)

В зависимости от величины рассчитывается система охлаждения для стенда.

При расчете сплошного цилиндрического амортизатора, для случая осевого сжатия при малых деформациях (менее 20%) в предположении о несжимаемости резины и использовании гипотезы плоских сечений зависимости сила-перемещение может быть представлена в виде P = β₁EFΔ/h, где Δ - величина перемещения, h - высота амортизатора, Е – модуль упругости [Н/м²], F – сечение [м²]. Эта формула получена разными исследователями и нашла широкое распространение в инженерной практике. Для коэффициента β₁ существует ряд соотношений в виде функций, зависящих от безразмерного параметра, характеризующего отношение радиуса к высоте.

В.Л.Бидерман получил формулу

(4.42)

Е.Т.Григорьев

(4.43)

где m - коэффициент, зависящий от условий присоединения резины к металлу (для соединения с помощью вулканизации m = 4,67), γ – также некоторый коэффициент.

Пэйн для резин на основе НК предложил формулу

(4.44)

Э.Э.Лавенделом при использовании метода разрешающей функции получено выражение

(4.45)

С.И.Дымников с помощью метода среднеквадратической ошибки получил формулу

(4.46)

На (рис.8) Показаны зависимости β₁(γ), найденные с помощью приведенных соотношений. Достаточно хорошая сходимость наблюдается в случае использования формулы Э.Э.Лавендела. Эта формула справедлива до значений Δ/h = 0,2.

Для определения жесткости сплошного цилиндрического амортизатора с закрепленными торцами при значении коэффициента Пуассона μ = 0,5 можно рекомендовать формулы Э.Э.Лавендела.

При осевом сжатии по оси Z при Δ/h ≤ 0,2

; ; (4.47)

; ; (4.48)

; ; (4.49)

При сдвиге Δ/h < 0,5

; (4.50)

При кручении моментом M_z на угол φ = 0,5 рад

; (4.51)

В случае средних деформаций (менее 50%) для зависимости сила-перемещение предложены другие выражения.

В.Л. Бидерман для одноосного сжатия с учетом краевого эффекта получил следующее выражение:

; ; (4.52)

Пэйн предложил эмпирическую зависимость

; (4.53)

которая в диапазоне λ = (0,5 ; 0,95) удовлетворительно (с точностью ±7%, по данным автора) совпадает с экспериментом.

С.И. Дымников с помощью δ-метода получил формулу вида

, (4.54)

которая удобна при расчетах и при Δ/h < 0,5 может быть рекомендована для определения жесткости цилиндрического амортизатора. На (рис.9) показаны зависимости при разных значениях коэффициента γ.

Ниже приведены конечные формулы, полученные Э.Э. Лавенделом.

При осевом сжатии амортизатора по оси Z при коэффициенте Пуассона μ = 0,5 для случая Δ/h < 0,2 выражения для жесткости будут иметь вид:

Для точек, лежащих ниже кривой 2 (рис.10)

; (4.55)

Для точек, лежащих между кривыми 1 и 2,

; (4.56)

Для точек, лежащих выше кривой 1,

(4.57)

Здесь ; ;

При Δ/h < 0,5 жесткость амортизатора при осевом сжатии может быть получена по формуле:

(4.58)

При сдвиге полого цилиндрического амортизатора, когда торцы остаются параллельными, при Δ/h < 0,5 жесткость можно найти по формуле , а при кручении - из выражения , где

По аналогии со сплошным цилиндрическим амортизатором расчет для прямоугольного призматического амортизатора с размерами сторон a · b · h и привулканизованными металлическими пластинами при малых деформациях связь между силой и перемещением представляется в виде

; ; , (4.59)

Соотношения для β₁ получены разными исследователями:

В.Л.Бидерманом

, (4.60)

где

, (4.61)

а величина η зависит от γ₁ и γ₂ и определяется при решении трансцендентного уравнения;

Пэйном

; (4.62)

Е.Т. Григорьевым

; (4.63)

Э.Э. Лавенделом

; (4.64)

С.И. Дымниковым

; (4.65)

Последняя формула проста, удобна при инженерных расчетах и дает хорошую сходимость с экспериментом. При γ₁ = γ₂, т.е. для амортизатора с квадратным основанием, она имеет вид , а для длинного призматического амортизатора (γ₂ >> γ₁) . При γ₁ < 1 и γ₂ < 1 жесткость амортизатора авторы рекомендуют определять без учета влияния закрепления торцов, т.е. .

Ниже приведены основные расчетные соотношения для определения жесткости при сжатии и сдвиге призматического амортизатора, полученные Э.Э. Лавенделом и его учениками.

При осевом сжатии, коэффициенте Пуассона μ = 0,5 и малых деформациях Δ/h ≤ 0,2

, , ; (4.66)

, , ; (4.67)

, ; (4.68)

γ₂ >> γ₁, ; (4.69)

При средних деформациях Δ/h ≤ 0,5 и μ = 0,5

γ₁ < 1, γ₂ < 1, ; (4.70)

γ₁ > 1, γ₂ > 1

γ₁ = γ₂,

γ₂ >> γ₁,

При сдвиге призматического амортизатора в условиях малых и средних деформаций (Δ/h ≤ 0,5) жесткость можно определить из выражения

При расчете усеченного конуса и усеченной пирамиды, если резиновый элемент представляет собой усеченный конус (рис.11«а»), нагруженный осевой силой P, то напряжение сжатия будет переменной величиной, достигающей максимального значения у меньшего основания с радиусом r₁ и минимального – y большего основания с радиусом r₂. Для случая малой деформации резинового элемента напряжение в некотором промежуточном сечении с радиусом r₀ составит

; (4.71)

Полная осадка Δ конического элемента с высотой h составит , а жесткость .

Если резиновый элемент имеет форму усеченной пирамиды (рис.11«б»), то напряжение в сечении площадью a₀b₀ можно записать:

, (4.72)

а величину осадки в виде:

; (4.73)

Выражение для жесткости резинового элемента в форме усеченной пирамиды:

. (4.74)

(Рис. 8) Зависимость β₁(γ):

1 – по формуле ( );

2 – ( );

3 – ( );

4, 5 – ( ) и ( )

(Рис. 9) Зависимость

(Рис.10) Зависимость

(Рис.11)

Схемы к расчетам резинометаллических деталей типа усеченного конуса (а) и усеченной пирамиды (б)

(Рис. 12) Принципиальная схема ударной установки 1 – грузоподъемное средство 2 – замок 3 – ферма 4 – объект испытаний 5 – переходное приспособление 6 – платформа 7 – направляющее устройство 8 – тормозная система 9 – тензодинамометрическая плита 10 – фундамент 11 – разгонная система

(Рис. 13)

(Рис. 14)