2. Метод Крамера
Рассмотрим
систему линейных алгебраических
уравнений: (СЛАУ) c 3-я неизвестными
:
В школьном курсе изучались методы решения систем линейных алгебраических уравнений: (СЛАУ) подстановки, вычитания, сложения.
Удобной модификацией метода подстановки является метод Крамера. Для применения метода Крамера обозначим 4 определителя.
Определитель матрицы СЛАУ
.
Заменив
в определителе
1-й столбец коэффициентов при
столбцом правой части получим определитель
.
Заменив
в определителе
2-й столбец коэффициентов при
столбцом правой части получим определитель
.
Заменив
в определителе
3-й столбец коэффициентов при
столбцом правой части получим определитель
.
Теорема.
Если
,
то существует единственное решение
СЛАУ:
.
■
Пример. Решить СЛАУ методом Крамера
Решение: Вычислим определители
.
Так
как
,
то, следовательно, существует единственное
решение СЛАУ. Можно находить остальные
определители.
.
.
.
.
.
По теореме Крамера существует единственное решение СЛАУ
.
Сделаем проверку для исходной СЛАУ:
– верно.
Ответ:
.
▲
3. Векторный анализ
Определение.
Вектор
– это направленный отрезок. Длина
вектора
это длина отрезка, образующего вектор.
Два векторами будем считать равными,
если они имеют равную длину и одинаковое
направление.
Определение. Геометрическая сумма векторов показана на рис. 1.
Рис. 1.
Определение.
Умножение вектора
на число
показано на рис. 2,
.
Рис. 2.
Определение.
Назовем единичными векторами
векторы единичной длины, параллельные
осям
соответственно.
Теорема. Разложение вектора на составляющие.
1)
Вдоль оси
:
.
2)
На плоскости
:
.
Запись
называется компонентной формой вектора
.
Числа
называются компонентами вектора
.
Вектор
имеет размерность два, равную количеству
компонент.
3)
В трехмерном пространстве:
.
Запись
называется компонентной формой вектора
.
Числа
называются компонентами вектора
.
Вектор
имеет размерность три, равную количеству
компонент. ■
Определение.
Обозначим
через
начало координат.
Заметим,
что вектор
начинается в начале координат
и заканчивается в точке
с координатами
,
то есть точке
соответствует вектор
.
С учетом приведенной теоремы с векторами можно выполнять арифметические операции, которые мы рассмотрим на примерах.
Пример.
1) сумма и разность векторов
;
;
2) произведение вектора на число
.
▲
Теорема. Длина вектора
■
Рассмотрим
векторы
на рис. 3.
Рис. 3.
Теорема.
Вектор
из точки
в точку
равен:
.
Доказательство:
Из рис. 3
следует:
.
Откуда вытекает
, что и требовалось доказать. ■
Пример.
Дано:
.
Найти:
.
Решение:
.
Ответ:
.
▲
Определение.
Скалярным произведением вектора
на вектор
называется число обозначаемое
,
равное
,
где
– это угол между векторами
и
.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно
.
■
Пример.
.
▲
Определение.
Векторное произведение вектора
на вектор
называется вектор
,
обозначается
,
который вычисляется через определитель
3-го порядка по правилу крестов:
.
Пример.
Найти векторное произведение векторов
,
.
Решение:
.
Ответ:
.
▲
Теорема.
Площадь треугольника
,
образованного векторами
и
(рис. 4) равна
,
где
– это длина векторного произведения
.
■
Рис. 4.
Пример.
Даны
3 точки на плоскости
.
Найти:
.
Решение: Рассмотрим рис. 4. Найдем векторы:
;
;
;
;
Для векторного произведения нужны 3 компоненты. Следовательно,
;
.
;
;
;
.
Ответ:
.
▲
Определение.
Смешанным
произведением векторов
,
,
называется число, обозначается
,
равное определителю 3-го порядка
.
Рис. 5. Пирамида
Теорема.
Объем пирамиды, образованной векторами
(рис. 5)
,
равен
,
где
– это модуль числа
. ■
Теорема.
Объем параллелепипеда, образованного
векторами (рис. 6)
,
равен
.
■
Рис. 6. Параллелепипед