Лабораторная работа № 1 первичная обработка данных

Цель работы: ознакомиться с основными понятиями математической статистики и методикой проведения первичного исследования статистических данных.

Задание: При проведении экспериментов фиксировались значения случайной величины X, характеризующей стоимость строительно-монтажных работ на участке, у.е.. Произвести первичную обработку полученных опытных данных с целью изучения свойств случайной величины Х.

Пример выполнения лабораторной работы №1.

1) Составим расчетную таблицу, в которой запишем вариационный ряд (элементы выборки в порядке неубывания признака) и произведем расчеты, необходимые для вычисления числовых характеристик.

Таблица 1.1 – Расчетная таблица

Номер п/п	Выборка, у.е.	Вариацион-ный ряд, у.е.,
1	4,265	3,95	-0,229	5,24E-02	-1,20E-02	2,7501E-03
2	4,136	4,07	-0,109	1,19E-02	-1,30E-03	1,4116E-04
3	4,174	4,09	-0,089	7,92E-03	-7,05E-04	6,2742E-05
4	4,2	4,09	-0,089	7,92E-03	-7,05E-04	6,2742E-05
5	4,24	4,09	-0,089	7,92E-03	-7,05E-04	6,2742E-05
6	4,238	4,098	-0,081	6,56E-03	-5,31E-04	4,3047E-05
7	4,2	4,1	-0,079	6,24E-03	-4,93E-04	3,8950E-05
8	4,16	4,1	-0,079	6,24E-03	-4,93E-04	3,8950E-05
9	4,2	4,1	-0,079	6,24E-03	-4,93E-04	3,8950E-05
10	4,231	4,108	-0,071	5,04E-03	-3,58E-04	2,5412E-05
11	4,19	4,136	-0,043	1,85E-03	-7,95E-05	3,4188E-06
12	4,294	4,137	-0,042	1,76E-03	-7,41E-05	3,1117E-06
13	4,1	4,137	-0,042	1,76E-03	-7,41E-05	3,1117E-06
14	4,15	4,138	-0,041	1,68E-03	-6,89E-05	2,8258E-06
15	4,31	4,15	-0,029	8,41E-04	-2,44E-05	7,0728E-07
16	4,21	4,15	-0,029	8,41E-04	-2,44E-05	7,0728E-07
17	4,19	4,156	-0,023	5,29E-04	-1,22E-05	2,7984E-07
18	4,137	4,156	-0,023	5,29E-04	-1,22E-05	2,7984E-07
19	4,22	4,156	-0,023	5,29E-04	-1,22E-05	2,7984E-07
20	4,18	4,16	-0,019	3,61E-04	-6,86E-06	1,3032E-07
21	4,168	4,167	-0,012	1,44E-04	-1,73E-06	2,0736E-08
22	4,214	4,168	-0,011	1,21E-04	-1,33E-06	1,4641E-08
23	4,137	4,174	-0,005	2,50E-05	-1,25E-07	6,2500E-10
24	4,314	4,18	0,001	1,00E-06	1,00E-09	1,0000E-12
25	4,09	4,185	0,006	3,60E-05	2,16E-07	1,2960E-09
26	4,233	4,19	0,011	1,21E-04	1,33E-06	1,4641E-08
27	4,156	4,19	0,011	1,21E-04	1,33E-06	1,4641E-08
28	4,15	4,19	0,011	1,21E-04	1,33E-06	1,4641E-08
29	4,21	4,19	0,011	1,21E-04	1,33E-06	1,4641E-08
30	4,09	4,2	0,021	4,41E-04	9,26E-06	1,9448E-07
31	4,2	4,2	0,021	4,41E-04	9,26E-06	1,9448E-07
32	4,325	4,2	0,021	4,41E-04	9,26E-06	1,9448E-07
33	4,09	4,2	0,021	4,41E-04	9,26E-06	1,9448E-07
34	4,07	4,208	0,029	8,41E-04	2,44E-05	7,0728E-07
35	4,19	4,21	0,031	9,61E-04	2,98E-05	9,2352E-07
36	4,271	4,21	0,031	9,61E-04	2,98E-05	9,2352E-07
37	4,156	4,214	0,035	1,23E-03	4,29E-05	1,5006E-06
38	4,167	4,22	0,041	1,68E-03	6,89E-05	2,8258E-06
39	4,1	4,225	0,046	2,12E-03	9,73E-05	4,4775E-06
40	4,138	4,231	0,052	2,70E-03	1,41E-04	7,3116E-06
41	4,208	4,233	0,054	2,92E-03	1,57E-04	8,5031E-06
42	4,234	4,234	0,055	3,02E-03	1,66E-04	9,1506E-06
43	4,1	4,238	0,059	3,48E-03	2,05E-04	1,2117E-05
44	4,185	4,24	0,061	3,72E-03	2,27E-04	1,3846E-05
45	4,098	4,265	0,086	7,40E-03	6,36E-04	5,4701E-05
46	4,19	4,271	0,092	8,46E-03	7,79E-04	7,1639E-05
47	4,156	4,294	0,115	1,32E-02	1,52E-03	1,7490E-04
48	4,225	4,31	0,131	1,72E-02	2,25E-03	2,9450E-04
19	4,108	4,314	0,135	1,82E-02	2,46E-03	3,3215E-04
50	3,95	4,325	0,146	2,13E-02	3,11E-03	4,5437E-04
Итого	208,948	208,948	0	0,24109	-0,006191	0,004725028

2) Найдем размах выборки = 4,325-3,95 = 0,375у.е.

3) Вычислим длину интервала = = 0,056.

4) Границы интервалов:

= 3,95, = 3,95+0,056 = 4,006,

= 4,006+0,056 = 4,062, = 4,062+0,056 =4,118,

= 4,118+0,056=4,174, =4,174+0,056=4,23, = 4,23+0,056=4,286, =4,286+0,056 =4,342 .

5) Построим интервальный статистический ряд:

Таблица 1.2 – Интервальный статистический ряд

Границы интервалов , у.е.	Частоты	Частости
[3,95, 4,006]	ч	1/50
(4,006 , 4,062]	0	0/50
(4,062, 4,118]	9	9/50
(4,118, 4,174]	13	13/50
(4,174, 4,23]	17	17/50
(4,23, 4,286]	6	6/50
(4,286, 4,342]	4	4/50
итого	50	1

6) Вычислим числовые характеристики.

В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое наблюденных значений. Эта статистика называется выборочным средним.

.

По интервальному статистическому ряду определяется модальный интервал, в который попало наибольшее число элементов выборки, и в качестве точечной оценки моды может использоваться среднее значение этого интервала.

.

Для определения выборочного значения медианы используется вариационный ряд. В нашем случае объем выборки = 50 – четное число, т.е. в качестве оценки медианы примем

= .

В качестве оценки дисперсии используется статистика = .

Оценка среднего квадратического отклонения

=

Оценка коэффициента вариации .

Оценка коэффициента асимметрии .

Оценка коэффициента эксцесса

.

7) Построим гистограмму частот.

Рисунок 1.3 – Гистограмма частот

8) Построим интервальные оценки для неизвестных истинных значений и .

Объем выборки составил n = 50. Требуется с доверительной вероятностью определить интервальные оценки:

а) для средней стоимости строительно-монтажных работ на участке;

б) для дисперсии стоимости строительно-монтажных работ на участке;

в) для среднего квадратического отклонения стоимости строительно-монтажных работ на участке.

а) Средняя стоимость строительно-монтажных работ на участкехарактеризуется генеральной средней a. Требуется найти интервальную оценку параметра a с доверительной вероятностью .

Применяем формулу

,

где , , , , значение определяем по таблицам распределения Стьюдента для и . . Подставим найденные значения в формулу:

у.е.

Таким образом, с вероятностью можно гарантировать, что средняя стоимость строительно-монтажных работ на участкенаходится в пределах: .

б) определим интервальную оценку для дисперсии стоимости строительно-монтажных работ на участке.

Интервальная оценка дисперсии

.

По таблице процентных точек -распределения (см. приложение Г) найдем

;

.

Следовательно, .

Значит с доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение дисперсии будет находиться в интервале

в) С доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение среднего квадратического отклонения  будет находиться в интервале

7) Произведем первичную обработку полученной выборки с помощью ЭВМ:

Summary Statistics for Col_1

Count	50
Average	127,16
Median	128,0
Mode	134,0
Variance	440,056
Standarddeviation	20,9775
Coeff. ofvariation	16,4969%
Minimum	85,0
Maximum	183,0
Range	98,0
Stnd. skewness	0,276588
Stnd. kurtosis	-0,251092

Рисунок1.4 – Компьютерныйрасчет

Confidence Intervals for Col_1

95,0% confidence interval for mean: 127,16 +/- 5,96175 [121,198; 133,122]

95,0% confidence interval for standard deviation: [19,0704; 29,7078]

The StatAdvisor

This pane displays 95,0% confidence intervals for the mean and standard deviation of Col_1. The classical interpretation of these intervals is that, in repeated sampling, these intervals will contain the true mean or standard deviation of the population from which the data come 95,0% of the time. In practical terms, we can state with 95,0% confidence that the true mean Col_1 is somewhere between 121,198 and 133,122, while the true standard deviation is somewhere between 17,5232 and 26,1408.

Вывод. В результате исследования выборки значений непрерывной случайной величины, характеризующей стоимость строительно-монтажных работ на участке, получили следующие результаты, у.е: минимальная стоимость строительно-монтажных работ на участке – 85, максимальная – 183, средняя стоимость строительно-монтажных работ на участке– 127,16, наиболее вероятная стоимость строительно-монтажных работ на участке – 134, средневероятная стоимость строительно-монтажных работ на участке – 128, среднеквадратическое отклонение стоимости строительно-монтажных работ на участкеот среднего значения составило 20,978. Оценка коэффициента вариации составила 16,5%, что указывает на небольшуюколеблемость признака относительно среднего значения, оценка коэффициента асимметрии составила 0,090, оценка коэффициента эксцесса составила -0,329. С доверительной вероятностью можно гарантировать, что средняя стоимость строительно-монтажных работ на участкенаходится в пределах: , истинное значение дисперсии будет находиться в интервале , истинное значение среднего квадратического отклонения  будет находиться в интервале