12.Приближ.Реш. Слу. Постановка задачи. Метод итерации. Дост.Усл.Сходимости
Дана n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(3.1)
Приведем систему (3.1) к равносильной ей
системе вида
(3.2)
в
сокращенной записи
(нормальный вид)
Пр.часть
системы (3.2) определяет отображение :
(3.3)
преобразующее
точку
-мерного
векторного пространства в точку
того же пространства. Исп-я отображение
(3.3) и выбрав нач.т .
,
можно построить итерационную послед-ть
точек
-мерного
пр-ва:
(3.4)
Напр:
Нач. приближение, т. (0; 0; 0) трехмерного пр-ва, подставим ее в пр. ч системы. Получим коорд.т (-1; -2; -3). Исп. эту точку как нач-ю, получим след. т (1; -2; -2) и т.д.
Если отображение является сжимающим отображением, то эта последовательность сходится и ее предел является решением данной системы и тем самым исходной системы.
ОП.
отображение
F
называется сжимающим,
если сущ такое число
,
что для любых двух точек
и
вып. усл
.
Рассмотрим условия, при которых
отображение (3.3) будет сжимающим.
Пусть
и
— две точки
-мерного
пространства. Для применения метода
итерации систему линейных уравнений
удобно «погрузить» в пр-во с одной из
трех следующих метрик:
а)
(3.5)
б)
(3.6)
в)
. (3.7)
Условие
сходимости итер процесса.
Т1:
если для приведенной системы (7) выполнено
хотя бы одно из условий
(i=1..n)или
(j=1..n),
то итерационный процесс сходится к
единств реш этой системы независимо от
выбора начального приближения. Для
системы A*x=b
метод итерации сходится, если выполнено
условие
i=..n
(j=1..n).
Т2:
Процесс
итерации для приведенной системы (7)
сходится к единств. ее решению, если
какая-нибудь каноническая норма матрицы
<1,
,где
s={m,l,k}
где
(строки),
(столбцы)
(все эл-ты суммируются).
Условия (3.8) —(3.10) легко вывести.
Для
точек
и
в
соответствии с (3.8) имеем:
(3.12)
По
свойству абсолютной величины имеем:
Это
нер-во лишь усилится, если заменить
каждый модуль
значением
Подставляя
это в (3.12), получим
(3.13)
Сравнивая (3.13) с (3.11), получаем условие (3.8).
Итак,
для применения метода итераций система
(3.1) должна быть переписана в виде (3.2).
Гарантией сходимости итерационного
процесса может служить выполнение хотя
бы одного из достаточных условий (3.8) —
(3.10). Для обеспечения условий сходимости
нужно получить систему вида (3.2) так,
чтобы коэффициенты при неизвестных
были существенно меньше единицы. Этого
можно достичь, если исходную систему с
помощью равносильных преобразований
привести к системе
с преобладающими диагональными
коэффициентами,
т.е. у которой абсолютные величины
коэффициентов, стоящих на главной
диагонали, больше абсолютных величин
остальных в соответствующих уравнениях.
Если потом разделить все уравнения на
соответствующие диагональные коэффициенты
и выразить из каждого уравнения
неизвестное с коэффициентом, равным
единице, то будет получена система вида
(3.2), у которой все
.
Выполнение этого условия необходимо,
но не достаточно для выполнения условий
сжимаемости (3.8) — (3.10).