6.. Метод половинного деления

Пусть уравнение имеет на отрезке единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок пополам точкой . Если (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: F(x) меняет знак либо на отрезке (рис. а), либо на отрезке [с; b]

(рис. б). Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

а - функция меняет знак на отрезке ; б - функция меняет знак на отрезке .

Оценка погрешности метода половинного деления.

Если на каком-то этапе процесса получен отрезок [a; b], содержащий корень, то, приняв приближенно , получим ошибку, не превышающую значения

При алгоритмизации метода половинного деления остановить процедуру уточнения корня можно и другим способом. Зная допустимое значение погрешности :

легко вычислить количество шагов получения последовательных приближений:

Учитывая, что N — число целое, окончательно получим

где, как это принято, квадратные скобки означают целую часть числа.

7. Метод хорд.

Метод хорд уточнения корней уравнений относятся к методам последовательных приближений. Приближения к корню находятся так: если известно предыдущее приближение , то последующее приближение , вычисляется по формуле

где Р — некоторое выражение, устанавливающее связь между предыдущим и последующим приближениями. Начинается процесс с какого-либо числа х₀ из отрезка изоляции корня — начального приближения.

Итак, пусть дано уравнение: , корень t которого отделен на отрезке

Известно, что при на функция возрастает на этом отрезке; при — убывает; при график функции вогнутый, а при -выпуклый. Возможны четыре случая:

1. — функция возрастает, график вогнутый;

2. — функция убывает, график выпуклый;

3. — функция возрастает, график выпуклый;

4. — функция убывает, график вогнутый.

1. Предположим, что производные и положительны на (случай 1). Тогда . Построим итерационную последовательность, взяв =а. Соединим точки и отрезком (хордой).

Абсциссу точки пересечения хорды с осью Ох возьмем в качестве . Уравнение хорды:

.

Положив в этом уравнении , получим . Следовательно,

.

Далее напишем уравнение хорды, при получим (абсциссу точки пересечения хорды с осью ):

Продолжая подобным образом, получим итерационную последовательность, вычисляемую по рекуррентной формуле, где в качестве выбран левый конец а отрезка , а правый конец b этого отрезка остается неподвижным:

Как видно из схем для случаев 1) и 2) , неподвижной точкой будет , а для случаев 3) и 4) наоборот, , неподвижной точкой будет .

Правило выбора начального приближения:

Если на (случаи 1-2), то , иначе если (случаи 3-4), то , а левый конец а этого отрезка остается неподвижным. Для случаев 3)-4) приближения вычисляют по формуле: