Вычислительная математика. Численные методы. Этапы решения задач.
Раздел математики, имеющий дело с созданием и обоснованием численных алгоритмов для решения сложных задач различных областей науки, называют прикладной математикой. Главная задача прикладной математики — нахождение решения с требуемой точностью.
История развития прикладной математики.
Первый период (3—4 тыс. лет назад).
вычисление площадей и объемов, расчеты простейших механизмов; т.е. несложные задачи арифметики, алгебры и геометрии. Вычислительные средства - собственные пальцы, счеты. Исходные данные содержали мало цифр, большинство выкладок выполнялось точно, без округлений.
Второй период (XVII-XIX в). Решались задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к ОДУ, либо к большим СУ. Вычислительные средства: таблицы элементарных функций, арифмометры и логарифмические линейки; клавишные машины с электромотором. Скорость этих средств была невелика, и вычисления занимали дни, недели и даже месяцы. Вычисления выполнялись с округлением; нередко приходилось сохранять до 8 значащих цифр. Появились численные методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Тихонова.
Третий период (связан с ЭВМ, начался примерно с 1940 г).
Военные задачи — например, наводка зенитных орудий на быстро движущийся самолет— требовали недоступных человеку скоростей и привели к разработке ЭВМ.
Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Простейшие численные методы мы используем всюду, например, извлекая квадратный корень на листке бумаги. Есть задачи, где без достаточно сложных численных методов не удалось бы получить ответа.
Основные этапы решения задач на ЭВМ
Математическая постановка задачи.
Построение математической модели, (выявление существенных моментов, отбрасывание второстепенных деталей);
Выбор метода решения и разработка алгоритма решения задачи.
Создание программы, отладка и тестирование.
Подстановка исходных данных, численный расчет и анализ результатов
Построение математической модели является наиболее сложным и ответственным этапом решения. Если выбранная математическая модель слишком грубо отражает изучаемое явление, то какие бы методы решения вслед за этим ни применялись, найденные значения не будут отвечать условиям реальной задачи и окажутся бесполезными.
Из-за грубости модели физическая точность этого подхода невелика; нередко такой подход позволяет оценить лишь порядки величин.
Пр.
1
.
2
3.
4.
1.решение не единственно; 2. Решение x*=(0,5;0,5); 3. решение x*=(1;0), значительно отличающееся от x*=(0,5;0,5). 4. вовсе не имеет решения.
Основы теории погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Связь между относительной погрешностью и числом значащих цифр.
Классификация погрешностей:
1.неустранимая погрешность; 2. погрешность метода; 3.вычислительная погрешность;
На различных этапах решения возникают те или иные погрешности в расчетах, причинами которых являются:
математическое описание задачи является неточным; 2. применяемые для решения задачи методы часто являются неточными. 3. при вводе исходных данных в машину, при выполнении расчетов и при выводе результатов производятся округления.