3.Методические рекомендации к выполнению контрольной работы. Решение типового варианта.

1.Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии

1.1 Элементы линейной алгебры

Пример1. Даны матрицы , числа и .

Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если

Решение. 1) Убеждаемся в том, что произведение матриц и определено. Действительно, так как указанные матрицы квадратные одного порядка, то произведение и существует. Найдем это произведение:

2) Вычислим линейную комбинацию матриц . Воспользуемся правилом умножения матрицы на число и правилом вычитания матриц:

3) Найдем матрицу выражения . Для этого определим матрицу каждого слагаемого, используя определение степени матрицы:

4) Убеждаемся в том, что для матрицы существует обратная матрица. Для этого вычислим определитель

.

Обратная матрица существует, так как . Её находим методом присоединенной матрицы. Для этого определяем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы:

Матрица , присоединенная к матрице , имеет вид

Обратную матрицу находим по формуле , согласно которой

Убеждаемся в правильности нахождения обратной матрицы. Для этого проверяем равенство . Действительно,

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений а) Метод Крамера решения линейной системы

Если для линейной системы и , то верны формулы Крамера для вычисления неизвестных _:

,

где , а являются определителями -го порядка, которые получаются из путем замены в нем -го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Пример. Решить систему методом Крамера.

Определитель системы: .

Последовательно заменив в первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим:

Согласно формулам Крамера, получим решение системы:

Б) Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Этот метод является одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Он основан на элементарных преобразованиях системы уравнений, в результате которых получается более простая для разрешимости система, равносильная исходной системе.

Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

1. умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2. прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

3. перемена местами двух уравнений в системе.

Если после указанных преобразований в системе появится уравнение, все коэффициенты которого и свободный член равны нулю, то оно может быть отброшено, поскольку такому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестных. В этом случае мы получим систему, равносильную данной и содержащую на одно уравнение меньше, чем данная система.

Если в результате применения элементарных преобразований в системе появится уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то это указывает на то, что уравнение не удовлетворяется никакими значениями неизвестных, и поэтому полученная система уравнений, равно как и эквивалентная ей исходная система, будет несовместимой.

Если же в процессе преобразования системы этого уравнения не встретим, то система будет совместной. При этом система будет определенной, имеющей единственное решение, если она приведена к треугольному виду (число уравнений равно числу неизвестных) и неопределенной, имеющей бесчисленное множество решений, – если к трапецеидальному виду (число уравнений меньше числа неизвестных). Пример. Решить систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования по схеме Гаусса:

Мы последовательно произвели следующие преобразования:

1. ко второй и третьей строке прибавили первую строку;

2. из третьей строки вычли вторую строку, умноженную на шесть;

3. разделили третью строку на (-14), а первую на 3.

Последней матрице соответствует система уравнений:

Осуществляем обратный ход метода Гаусса. Из последнего уравнения находим . Подставим это значение во второе уравнение и найдем . Далее, в первое уравнение подставляем значения найденных неизвестных и получим .

_Ответ: