Пример 4.

Для стального вала (рис. 4) круглого поперечного сечения постоянного по длине (рис. 4) требуется:

1

Рис.4

. Определить значения моментов М₂ и М₃, соответствующие передаваемым мощностям Р₂ и Р₃, а также уравновешивающий момент М₁.

2

Рис.4

Рис.4

. Построить эпюру крутящих моментов.

3. Определить требуемый диаметр вала из расчетов на проч­ность и жесткость, если [τ_k] = 30 МПа; [φ₀] = 0,02 рад/м; Р₂ = 52 кВт; P₃ = 50 кВт; ω = 20 рад/с;

G = 8·10⁵ МПа.

Рис. 4

Окончательное значение диаметра округлить до ближайшего четного (или оканчивающего на пять) числа.

Решение:

1. Определяем величины внешних скручивающих моментов М₂ и М₃:

M₂ =P₂/ω =52·10³/20 =2600 H·м; M₃ =P₃/ω =50·10³/20 =2500 H·м.

2. Определяем уравновешивающий момент М₁: по условию равновесия ΣМ=0; -М₁+М₂+ М₃ = 0; М₁ = М₂ + М₃ = 5100 Н·м.

3.Определяем значения моментов на участках:

строим эпюру М_z (рис. 4).

4. Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткос­ти.

М_Zmax =5100 Н·м.

Из условия прочности:

______

d = ³√16Wp/π,

где W_p = М_Zmax / [τ_k] ==5100/ 30·10⁶ = 170·10 ^-6 м³ = 170·10³ мм³

_____________

d =³√16·170·10³/ 3,14 = 95,2 мм.

Принимаем d_пр =95мм.

Из условия жесткости:

______

d =⁴√32 I_p /π ,

где I_p = M_zmax / ( G· [φ₀]) = 5100/ (8·10¹⁰·0,02) =3,19·10^-6 м⁴ = 319·10⁴ мм⁴

_____________

d =⁴√32· 319·10⁴ /3,14 = 75,5 мм. Принимаем d_жест =76 мм.

Требуемый размер сечения получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный: d =95 мм.

Задача 5.

К решению этой задачи следует приступить после изучения темы «Изгиб». Изгиб — это та­кой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечени­ях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одно­временно с изгибающими моментами возникают и поперечные си­лы; такой изгиб называют поперечным; если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым. Изгибающий момент М_и в про­извольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраичес­кой сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно центра тяжести сечения: М_и =ΣМ. Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебра­ической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть: Q =ΣF. Причем все внешние силы и моменты действуют в главной продольной плоскости бруса и расположены перпендикулярно про­дольной оси бруса.

П равило знаков для поперечной силы: силам, поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс (рис. 5.а), а си­лам, поворачивающим

Рис. 5 Правило знаков для поперечной силы

отсеченную часть балки относительно рас­сматриваемого сечения против хода часовой стрелки, приписывается знак минус (рис. 5.б).

П равило знаков для изгибающих моментов: внешним моментам, изгибающим мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении

Рис. 6 Правило знаков для изгибающих моментов ­

отсеченную часть бруса выпуклостью вниз, приписывается знак плюс (рис. 6, а), а моментам, изгибающим отсеченную часть бруса вы­пуклостью вверх - знак минус (рис. 6, б).

Между выражениями изгибающего мо­мента М_х, поперечной силы Q_y и интенсивностью распределенной нагрузки q сущест­вуют дифференциальные зависимости: dM_x/ dz =Q_y; dQ_y/dz =q.

Н

а основе метода сечений и дифференци­альных зависимостей устанавливается вза­имосвязь эпюр М_х и Q_y между собой и с внешней нагрузкой, поэтому достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями.

Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные си­лы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограни­чивающие участки с равномерно

распределенной нагрузкой.

В рассматриваемой задаче требуется построить эпюры попереч­ных сил и изгибающих моментов, а также подобрать размеры по­перечного сечения балки, выполненной из прокатного профиля- двутавра или швеллера.

Условие прочности для балок с сечениями, симметричными отно­сительно нейтральной оси, имеет вид

σ_max = M_xmax / W_x ≤ [σ], где W_x – осевой момент сопротивления сечения.

Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочности определяют необходимое значение осевого момента со­противления:

W_x ≥ M_xmax / [σ].

По найденному моменту сопротивления W_x подбирают соответству­ющее сечение по сортаменту.

Для закрепленной одним концом балки расчет целесообразно вести со свободного конца (чтобы избежать определения опорных реакций в заделке).

Последовательность решения задачи:

1. Балку разделить на участки по характерным точкам.

2. Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил.

3. Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов.

4. Для подбора сечения из условия прочности определить W_x в опасном сечении, т. е. в сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение.