П ример 3

Для данного сту­пенчатого бруса (рис. 3, а) по­строить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свобод­ного конца, если Е=2·10⁵ МПа =2·10¹¹ Па; F₁=30 кН =30·10³ Н; F₂= 38 кН = 38·10³ Н; F₃=42 кН=42·10³ Н; A₁=1.9 см² =1,9·10^-4 м²; А₂=3,1 см² =3,1·10^-4 м².

Решение.

1. Разбиваем брус на участки, как показано на рис. 3, а.

2. Определяем ординаты эпю­ры N на участках бруса:

N₁=0; N₂ =F₁ = 30 кН; N₃=F₁= 30 кН; N₄=F₁ –F₂= -8 кН; N₅ = F₁ – F₂ – F₃= -50 кН.

Строим эпюру продольных сил (рис. 3,б).

3. Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений:

σ₁ = N₁/A₁= 0;

σ₂ = N₂/A₁=30·10³/ 1,9·10^-4=158·10⁶ Па=158 МПа;

σ₃ =N₃/A₂= 30·10³/ 3,1·10^-4 =96,8·10⁶ Па = 96,8 МПа;

σ₄ =N₄/A₂= -8·10³/ 3,1·10^-4 =-25,8·10⁶ Па = -25,8 МПа;

σ₅ =N₅/A₂= -50·10³/ 3,1·10^-4 = -163·10⁶ Па = -163 МПа

Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 3,в).

4.Определяем перемещение свободного конца балки:

Брус удлиняется на 0,23 мм.

З адача 4.

К решению этой задачи следует приступить после изучения темы «Кручение». Кручением называют такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренней силовой фактор — крутящий момент М_к (или М_z). Крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на отсечённую часть: М_к=ΣМ_i (имеется в виду, что плоскости действия всех внешних скручивающих моментов М_i перпендикулярны продольной оси бруса).

Будем считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего на проведенное сечение, он представляется направленным по часовой стрелке. Соответствующий внешний момент направлен против часовой стрелки .

В задаче необходимо выполнить проектный расчет вала круглого поперечного сечения из условий прочности и из условий жесткости; из двух полученных значений диаметров следует выбрать наибольшее значение.

Последовательность решения задачи:

1.Определить внешние скручивающие моменты по формуле М= Р/ω, где Р- мощность, ω - угловая скорость.

2. Определить уравновешивающий момент, используя уравнение равновесия ΣМ = 0, так как при равномерном вращении вала алгебраическая сумма приложенных к нему внешних скручивающих (вращающих) моментов равна нулю.

3. Пользуясь методом сечений, построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

4. Для участка вала, в котором возникает наибольший крутящий момент, определить диаметр вала для круглого сечения из условий прочности и жесткости.

Из условия прочности: τ _max ≤ [τ_k], τ _max = M_{z max} / W_p,

где M_{z max} –наибольший крутящий момент: W_p –полярный момент сопротивления кручению; [τ_k]–допускаемое касательное напряжение. Учитывая, что для круглого сечения W_p = π·d³/ 16, и используя условие жёсткости, можно получить уравнение: 16M_{z max} / π·d³ = [τ_k], откуда определяется необходимый по прочности диаметр поперечного

_______

сечения вала: d= ³√ 16W_p/π.

Из условия жёсткости: φ _max ≤ [φ₀] Здесь φ_max = M_{z max}/ (G∙ I_p), где I_p –полярный момент инерции сечения; G –модуль упругости при сдвиге; [φ₀] –допускаемый угол закручивания сечения учитывая, что для круглого сечения I_p = π·d /32, используя условие жёсткости, можноп

о­лучить уравнение: 32·M_{z max} / G∙πd = [φ₀], откуда определяется необходимый по жёсткости диаметр поперечного

______

сечения вала: d=⁴√32Ip/ π. Из двух полученных диаметров вала выбрать наибольший.