Метод математической индукции позволил мне проверить истинность гипотезы, то есть доказать справедливость формулы для вычисления количества звеньев ломаной.
Все рисунки выполнены в программе Graph Markup Language.
Основное содержание
§1. Составление формулы для подсчета количества звеньев ломаной
Из
известных задач я узнала, что если точек
9, то 4 звена у ломаной, если 16, то – 6,
если 25, то - 8 и если 36, то – 10. Обозначим
через
– количество звеньев ломаной для n×n
точек расположенных в форме квадрата,
то есть n
– количество точек на стороне квадрата,
тогда:
4=2*2=2*(3-1)
6=2*3=2*(4-1)
8=2*4=2*(5-1)
10=2*5=2*(6-1)
--------------------------
,
где n=3,
4, 5, 6, …
С
одной стороны я увидела, что количество
звеньев ломаной является четным числом,
т.к. произведение содержит четный
множитель, а мы знаем, что каждое следующее
четноечисло, на 2 больше предыдущего,
то есть выполняется равенство:
для любого натурального числа n.
С другой стороны, увидев закономерность, я сформулировала гипотезу, что количество звеньев ломанной вычисляется по формуле: , где n=3, 4, 5, 6, … Проверим истинность формулы с помощью метода математической индукции.
Количество звеньев ломаной вычисляется по формуле , где n – количество точек на стороне квадрата (n=3, 4, 5, 6, …).
Доказательство:
–
верно.Пусть при n=k, где
– верно.Докажем при n=к+1, где
– верно.
Доказательство:
=
=
– верно. По методу математической
индукции формула
верна для любого натурального n=3,
4, 5, 6, …, что и требовалось доказать.
Итак, количество звеньев ломанной вычисляется по формуле , где n=3, 4, 5, 6, …
§2. Решения головоломок на вычеркивание n×n точек ломаной, состоящей из 2(n-1) звеньев
Зная, как вычислить количество звеньев ломаной, я стала решать различные задачи, стараясь выделить общий подход при решениях.
Задача 1. Перечеркните 9 точек, расположенных на рис.1, ломаной из 4 звеньев.
Решение: смотри рис.2. [4, С. 49]
Задача 2. Перечеркните 16 точек, расположенных на рис.3, ломаной из 6 звеньев.
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Рис. 4.
Решение: смотри рис.5.
Рис. 5.
Задача 3. Перечеркните 25 точек, расположенных в форме квадрата, ломаной из 6 звеньев.
Решение: смотри рис.6.
Рис. 6.
Аналогичные решения получаем для 6×6 точек и 7×7, смотри рис.7 и рис.8 и т.д.:
Я увидела, что каково бы ни было количество точек, их можно вычеркнуть последовательно горизонтальными и вертикальными отрезками, оставив 9 точек внутри, которые всегда можно вычеркнуть 4 отрезами.
§3. Разработка алгоритма вычеркивания n×n точек ломаной, состоящей из 2(n-1) звеньев
Полученные результаты §2, я занесла в таблицу:
Количество точек |
Количество точек на стороне квадрата |
Количество вертикальных звеньев |
Количество горизонтальных звеньев |
Количество звеньев для вычеркивания 9 точек |
9 |
3 |
0 |
0 |
4 |
16 |
4 |
1 |
1 |
4 |
25 |
5 |
2 |
2 |
4 |
36 |
6 |
3 |
3 |
4 |
49 |
7 |
4 |
4 |
4 |
… |
… |
… |
… |
… |
n×n |
n |
n-3 |
n-3 |
4 |
Увидев закономерность, сформулировала гипотезу, что для вычеркивания n×n точек, можно n-3 вертикальными и n-3 горизонтальными отрезками вычеркнуть все точки, кроме точек в соседних трех столбцах и трех строках, то есть оставить 9 точек, которые можно вычеркнуть 4 отрезками. Всего получается (n-3)+(n-3)+4 – отрезков.
Проверка (n-3)+(n-3)+4=n-3+n-3+4=(n+n)+(4-3-3)=2n-2 – верно.