Городская научно-практическая конференция

“Молодежь и наука”

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 4

Секция: прикладная и фундаментальная математика

Исследовательская работа

Решение геометрических головоломок на вычёркивание точек ломаной

Выполнила:	Калачина И.Г. МБОУ СОШ №4, 6б класс.
Руководитель:	Новоселова Татьяна Михайловна, учитель математики, МБОУ СОШ №4.

Дивногорск

2017

Оглавление

Аннотация……………………………….……………………………...…. ………………..…...3

Введение ……………….….….…..……..……..……...…..……..….….….………….………....4

Основное содержание ……………………………………….…………………………………..8

§1.Составление формулы для подсчета количества звеньев ломаной………….…...……….8

§2.Решения головоломок на вычеркивание n×n точек ломаной, состоящей из 2(n-1) звеньев………………………………………………………………………………….…………9

§3.Разработка алгоритма вычеркивания n×n точек ломаной, состоящей из 2(n-1) звеньев.10

Заключение……………………………………………………………………………..….……12

Источники информации…………. ….…………………………………………………….......13

АННОТАЦИЯ

Цели: Составить формулу для нахождения количества звеньев ломаной. Разработать алгоритм вычёркивания точек ломаной.

Задачи:

- На конкретных задачах установить взаимосвязь между количеством точек, расположенных на стороне квадрата и количеством звеньев ломаной.

- Обобщить взаимосвязь в виде формулы и доказать ее.

- На конкретных задачах выявить общие подходы при вычёркивании точек ломаной.

- Описать алгоритм решения таких задач.

Объект исследования: геометрические головоломки на вычёркивание точек ломаной.

Предмет исследования: решение геометрических головоломок на вычёркивание точек ломаной.

Методы проведённых исследований: анализ- синтез, обобщение, моделирование, метод математической индукции.

Основные результаты работы:

1. Получена и доказана формула для нахождения количества звеньев ломаной для вычёркивания точек.

2. Разработан алгоритм вычёркивания точек ломаной.

Введение

«Окружающий нас мир – это мир геометрии»

Александров А. Д.

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Задача – это почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а средства ее решения – это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики. Эти же качества человеческого ума воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто регулярно отдает часть своего досуга умственной гимнастике, лучшим видом которой является решение математических головоломок, ребусов, задач с интригующим содержанием. [5, С. 3]

Математические головоломки принадлежат к числу наиболее любимых читателями жанров популярной литературы. Решая их, люди испытывают радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощущают красоту и величие математики. Головоломки пробуждают в людях наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную способность к восприятию прекрасного. [2, С. 5]

Геометрия с древнейших времен помогает людям в решении многих практических задач, она развивает воображение, она говорит о формах окружающего нас мира и помогает нам познать красоту. [1, С. 5]

Геометрические головоломки - великолепная тренировка ума и мыслительных способностей, это способ не только приятного, а еще и полезного времяпровождения и интеллектуального досуга. Они развивают пространственное воображение и логическое мышление. Они требуют смекалки, сообразительности и находчивости. При разгадывании загадок необходимо перебирать множество комбинаций, прежде чем будет найден правильный ответ. А для решения геометрической головоломки, которую я предлагаю вам понадобиться всего лишь листок бумаги и ручка!

Мне предложили решить задачу на вычеркивание 9 точек, расположенных как на рисунке 1, ломаной из 4х звеньев.

Точка – неопределяемое понятие.

Ломаная – это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами так, что соседние (имеющие общую точку) отрезки не лежат на одной прямой. Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков – ее вершинами. [3, С. 97]

Решив данную задачу , я стала искать похожие задачи и обнаружила, что задача на вычеркивание 9 точек самая популярная и к ней приведены ответы в виде рисунка 2 во многих источниках [8, С.82], [9], [4, С. 49] и др.

С большим трудом я нашла еще 2 задачи: 16 точек – 6 отрезков [4, С. 49], 25 точек – 8 отрезков с указанием количества точек и количества звеньев ломаной, к одной из них было два различных решения рис.3 (а, б) [9], [10] , а к другой одно решение рис. 3 (в) [11]:

а б в

Рис 3.

В идим, что единого подхода в решениях нет и поскольку других задач я не нашла, то мне стало интересно, существует ли формула для нахождения количества звеньев ломаной и алгоритм вычёркивания точек ломаной, то есть у меня возникли проблемные вопросы:

- Есть ли взаимосвязь между количеством точек и количеством звеньев ломаной?

- Существует ли единый подход вычеркивания точек?

Я определила следующие цели: Составить формулу для нахождения количества звеньев ломаной. Разработать алгоритм вычёркивания точек ломаной.

Для достижения целей необходимо выполнение таких задач, как:

• На конкретных задачах установить взаимосвязь между количеством точек, расположенных на стороне квадрата и количеством звеньев ломаной.

• Обобщить взаимосвязь в виде формулы и доказать ее.

• На конкретных задачах выявить общие подходы при вычёркивании точек ломаной.

• Описать алгоритм решения таких задач.

Объект исследования: геометрические головоломки на вычёркивание точек ломаной.

Предмет исследования: решение геометрических головоломок на вычёркивание точек ломаной.

Методы проведённых исследований:

Анализ (расчленение объекта на составляющие его части) – это способ познания объекта посредством изучения его частей и свойств. [7, С. 39]

Синтез (соединение в единое целое частей или свойств объекта) – это способ познания объекта посредством объединения в целое частей и свойств, выделенных в результате анализа. [7, С. 39]

Анализ и синтез сосуществуют, друг друга дополняя. Анализ-синтез я использовала при работе с информацией, при нахождении закономерностей.

Сравнение – это способ познания объекта посредством установления сходства и (или) различия объектов по каким-либо признакам. [7, С. 39]

Сравнение как метод исследования мне был необходим при нахождении закономерностей.

Обобщение (объединение объектов или их свойств в одну общность по основным признакам) – это способ познания объекта посредством определения общих существенных признаков объектов. Обобщение базируется на анализе и синтезе, направленных на становление существенных признаков объектов, а также на сравнении, которое позволяет определить существенные признаки. [7, С. 39]

Я применяла обобщение при формулировании выводов.

Знаковое моделирование – это моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, набор символов и т.д. [7, С. 38]

В своей работе я моделирование использовала при составлении формулы и решениях головоломок, которые представлены в виде рисунков.

Метод математической индукции [6, С. 3]

Принцип математической индукции

Пусть имеется какое-то утверждение, зависящее от натурального n . Если это утверждение истинно при n=1 и из истинности его при каком-то произвольном натуральном n = k следует его справедливость и при следующем n , равном k+1, то данное утверждение верно для всех натуральных n .

Способ доказательства математических утверждений с помощью принципа математической индукции называется методом математической индукции, который состоит в следующем:

1. Проверяют истинность утверждения при n=1 – первый шаг доказательства (первый индукционный шаг).

2. Допускают, что утверждение справедливо при n=k , где k – произвольное натуральное число (кϵN), и доказывают, что тогда утверждение верно и при n=k+1 – второй шаг доказательства (второй индукционный шаг).

Если обе части доказательства проведены, то на основании принципа математической индукции утверждение истинно для всех натуральных n (nϵN) – вывод.

В самом деле, если утверждение справедливо при n =1, то по доказанному в шаге 2 оно верно и при n =1+1 = 2. Далее, из того, что оно верно при n = 2 вытекает его справедливость при n = 2 +1 = 3. Затем от n = 3 переходят к n = 4 и т.д. Ясно, что при этом рано или поздно мы доберемся до любого натурального числа n , а потому данное утверждение истинно для всех nϵN.