1

Тема 6. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

Задача 6.1. В результате исследования взаимосвязи двух показателей (X – торговая площадь продовольственного магазина, кв.м., Y – годовой товарооборот продовольственного магазина, млн. руб.) получены следующие данные:

Торговая площадь продовольственного магазина, кв.м.	Годовой товарооборот продовольственного магазина, млн. руб.

Методом наименьших квадратов найдите линейную функцию, которая наилучшим образом приближает эмпирические (опытные) данные. Сделайте чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат отобразите поле рассеивания и график аппроксимирующей функции.

Решение. Аппроксимирующей будет такая функция, график которой проходит как можно ближе к точкам и при этом является достаточно простой, не «петляя» от точки к точке, и наиболее полно отображает главную тенденцию.

Простейший способ нахождения такой функции опирается на метод нахождения наименьшего отклонения между координатами точек эмпирических данных и координатами точек кривой. Этот метод называется методом наименьших квадратов и основан на решении стандартной задачи – нахождения минимума функции двух переменных (см. Приложение 2).

П остроим в декартовой системе координат диаграмму рассеивания. Для этого по оси абсцисс отметим значения показателя Х, по оси ординат – значения показателя Y.

Как видим, в качестве аппроксимирующей подходит линейная функция . Коэффициенты a и b можно найти, решив систему линейных уравнений (см. Приложение 2):

или после сокращения на п:

(1)

Составим вспомогательную таблицу, куда сведём все промежуточные вычисления.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
	=	=	=	=

Тогда система (1) примет вид:

Решим её методом Крамера:

Откуда:

Теперь можно записать уравнение аппроксимирующей прямой:

.

Построим график данной прямой на вышеприведённой диаграмме рассеивания и убедимся, что он проходит точно через скопление точек. Для построения прямой линии достаточно определить координаты её двух точек (с помощью полученного уравнения). Эти точки желательно брать далеко друг от друга, но в районе диаграммы. Поместим координаты этих двух точек в следующую табличку:

Видим, что построенная прямая линия проходит среди точек диаграммы рассеивания.

(В противном случае имеется ошибка в расчётах и полученные значения следует пересчитать!)

Задача 6.2. В результате проведенного исследования по 10 предприятиям фирмы получены следующие данные:

№ пред- приятия	Выработка продукции на одного рабочего, тыс. руб.	Объем произведенной продукции, тыс. руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Итого

1) Найти уравнение регрессии зависимости выработки рабочего от объема производительности труда. 2) Определить степень связи между размером основных фондов и выпуском продукции на один завод. 3) Проверить статистическую значимость при _________.