Глава VIII теория ошибок измерений

РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

168. Угол, истинное значение которого X = 56° 17' 24,4", изме­ рен 12 приемами. При этом получены следующие значения секунд:

,5; 23,8; 22,6; 22,2; 23,9; 25,5; 24,7; 22,6; 20,4; 26,3; 21,3; 24,1. Подсчитанная предельная ошибка измерения 5". Вычислить истин­ные ошибки и проверить, отвечают ли они свойствам случайных ошибок.

169. Ответьте на следующие вопросы:

а. Угол измерен высокоточным теодолитом с ошибкой 1', рассто­ яние измерено лентой с ошибкой, равной 5 м; превышение определено геометрическим нивелированием с ошибкой 0,5 м. Можно ли считать эти ошибки грубыми?

б. Ряд измерений выполнен со следующими ошибками: +1; —1; —3; 0; —4; —1; +2; —2; —3. Являются ли эти ошибки случайными или носят систематический характер?

170. К какой категории следует отнести ошибки: коллимацион­ ную, за неравенство подставок, за эксцентриситет алидады, делений лимба, наведения, отсчитывания, за рефракцию? Ответы обоснуйте.

5* 67

171. Расстояние измерено лентой и нитяным дальномером;, длина стороны треугольника измерена лентой и получена из ренщния треугольника; высота визирного цилиндра над центром пункта измерена рулеткой и получена аналитически* один из углов тре­угольника измерен теодолитом и получен по остальным двум' углам. В каждом случае одно измерение непосредственное. Какие измерения являются здесь косвенными?

172. Линия, истинное значение длины которой равно 125,43 м, измерена 6 раз. Результаты измерений следующие: 125,56; 125,49; 125,39; 125,38; 125,44; 125,35 м. Определить среднюю, вероятную и среднюю квадратическую ошибки одного измерения.

Решение (табд. 56).

Таблица 56

173. Один и тот же угол, истинное значение которого X = = 75° 43' 26", получен из двух рядов измерений (табл. 57).

Таблица 57

I ряд измерений .--"■•-...

75° 53'27,0"; 26,2"; 28,3"; 20,0"; 24,9"; 24,1"; 27,4"; 28,9"; 26,0"

II ряд измерений

75° 43'27,9"; 23,1"; 28,4"; 29,0"; 23,9"; 25,3"; 28,2"; 27,1"; 25,0"

Определить среднюю, вероятную и среднюю квадратическую ошибки по каждому ряду измерений. Указать, какой вывод можно сделать из сравнения определяемых ошибок. Какие из них лучше отражают точность измерений?

174. Истинные ошибки результатов пробных определений пре­ вышений равны в миллиметрах: +0,11; +0,05; —0,02; +0,25; +0,04; —0,20; —0,12; —0₃07; +0,50; —0,03; +0,13. Найти среднюю квадра­ тическую, среднюю и вероятную ошибки одного измерения. Про­ верить, имеются ли среди истинных ошибок грубые ошибки.

68

175. Средние квадратические ошибки равны: 1) измерения угла т = 20"; 2) отсчета по рейке т₀ = 0,7 мм; 3) взаимного положения точек m_s = 0,3 м. Вычислить значения соответствующих предель­ных ошибок.

176^ Определить среднюю квадратическую ошибку суммы углов одного треугольника, если угловые невязки треугольников в триан­гуляционной сети равны +1,1"; —2,0"; +1,5"; — 3,1"; —0,9"; +3,0"; +1,2"; -0,3".

Пояснение. Угловые невязки треугольников рассматри­ваются как истинные ошибки сумм углов.

177. Определить, какая из указанных двух линий измерена точнее, если известны их длины и соответствующие средние квадра­ тические ошибки измерения:

di = 145,20 м, т_х = 0,14 м; tf₈ = 483,05 м, т_% = 0,24 м. -

178. Вычислить относительную^ошибку измерения линии, длина которой оказалась равной d — 125,31 м; средняя квадратическая ошибка измерения т = 7,2 см.

179. Определить, с какой относительной ошибкой проложен теодолитный ход, если абсолютная (линейная) ошибка Д,_бс = 1,43 м, а длина хода L = 2145 м.

180. Светодальномер обеспечивает измерение расстояний со сред­ней квадратнческой ошибкой т = 3 см. Какую можно ожидать относпте.тьнтю ошибку при измерении сторон длиной: 1) 200 м:

500 м; 3) 1000 м; 4) 1200 м.

181. Угол измерен шестью приемами. Получены значения угла: 1) 35° 12' 56"; 2) 35° 12' 55"; 3) 35° 12' 59"; 4) 35° 13' 02";

35° 13' 00"; 6) 35° 12' 59". Вычислить вероятнейшее значение угла.

Проверить правильность вычислений, используя свойство вероят-

нейших ошибок.

Решение (табл. 58).

Таблица 58

а\— приближенное значение (обычно выбирается наименьшее) из­меренной величины.

69

182. При определении расстояния насадкой ДНТ параллакти­ ческий угол измерен шестью приемами. В табл. 59 даны результаты измерений (в делениях).

Таблица 59

Вычислить вероятнейшее значение измеренного угла. Проверить правильность вычисления, используя свойство вероятнейших ошибок.

183. Определить среднюю квадратическую ошибку расстояния D, измеренного нитяным дальномером, если коэффициент дальномера К — 100, а отсчет по рейке сделан с ошибкой т; = 1 см.

Решение. Для решения задач по оценке точности функций измеренных величин необходимо:

а) выбрать формулу, по которой вычисляется оцениваемая вели­ чина, в данном случае D = К1',

б) установить общий вид функции, в данном случае у — кх;

в) зная формулу средней квадратической ошибки этой функции, подставить в нее значения заданных величин, в нашем случае т_у = — кт_х, тогда

лги — кт₍, m_D = 100 -1 см = 100 см, m_D = 1 м.

/ 184. Превышение определено геометрическим нивелированием по способу «вперед». Определить его среднюю квадратическую ошибку, если ошибка измерения высоты инструмента т₍ = 3 мм, а ошибка отсчета по рейке (взгляда) т_ВЗГл = 2 мм.

185. На местности были измерены все три угла в треугольнике со средними квадратическими ошибками т_а = 0,28"; тр = 0,24" и ту = 0,50". Вычислить среднюю квадратическую ошибку суммы углов в данном треугольнике.

186. При обработке результатов измерений углов на станции угол 1,3 вычисляется как сумма двух измеренных углов (1,2 и 2,3). Определить его среднюю квадратическую ошибку, если каждый измеренный угол получен с ошибкой ш = 2".

187. Превышение на станции получено геометрическим нивелиро­ванием из середины как разность двух взглядов. Определить среднюю квадратическую ошибку превышения, если ошибка взгляда равна

2 мм.

188. В теодолитном ходе п углов, каждый из которых измерен со средней квадратической ошибкой m = 30". Вычислить среднюю

70

квадратическую ошибку суммы углов в ходе. Чему равна предель­ная ошибка суммы углов во всем ходе, если принять предельную ошибку измерения угла А_пред = 2т?

189. Длина линии АВ измерена нитяным дальномером по ча­стям — с концов линии определены отрезки АС ж ВС. Каждый отсчет по рейке получен как разность двух отсчетов по крайним нитям, средняя квадратическая ошибка отсчета по одной нити равна т₀ — == 0,5 см. Коэффициент дальномера К = 100. Вычислить среднюю квадратическую ошибку то длины линии АВ.

190. Угол С получен как дополнение до 180° к сумме двух других измеренных углов А я В треугольника. Найти среднюю квадрати­ческую ошибку угла С, если каждый из углов А и В измерен со средней квадратической ошибкой m = 5". -

191. По условиям задачи 175 определить среднюю квадратиче­скую ошибку измерения одного угла (по невязкам треугольников).

Пояснение. В задаче 175 даны невязки треугольников w, являющиеся истинными ошибками суммы углов; средняя квадрати­ческая ошибка суммы углов треугольника

но в то же время m-z = пгУЪ, где тп— средняя квадратическая ошибка измерения одного угла, откуда m — т^1УЪ. Подставляя полученное значение m_s, получим

Эта формула известна под названием формулы Ферреро.

Далее подставляем числовые значения задачи 175 и вычисляем среднюю квадратическую ошибку измерения одного угла треуголь­ника.

192. В сети триангуляции 3 класса получены невязки треуголь­ников: +1,6"; +3,7"; -2,0"; -0,6"; +1,0"; -2,4"; +2,5"; -4,0"; +1,3"; —3,2". Определить, допустима ли средняя квадратическая ошибка измерения угла, если согласно инструкции она не должна превышать 1,5".

193. Найти среднюю квадратическую ошибку угла, вычисленного как разность двух направлений, если средняя квадратическая ошибка одного направления равна т_н = 7".

194. Решить задачу 189, предполагая, что отсчет по рейке получен как удвоенное произведение разности отсчетов по средней нити и по одной из крайних нитей. Доказать, что ошибка определения расстояния дальномером при отсчитывании по средней и крайней нитям и последующем удваивании вдвое больше, чем при отсчете по крайним нитям.

195. Средняя квадратическая ошибк! нивелирования, приходя­щаяся на 1 км хода, равна т = 5 мм. Чему равна средняя квадрати-

71

ческая ошибка нивелирного хода, в котором число километров равно Ы Какую предельную ошибку можно допустить в ходе, если принять предельную ошибку на 1 км равной А_Пр_ед = 2то?

196. Найти среднюю квадратическую ошибку щ определения площади прямоугольника, вычисленной по измеренным на плане сторонам а = 520 м и Ъ = 645 м. Масштаб плана 1 : 10 000. Средние квадратические ошибки измерения длин сторон т_а — т_ь = 0₃2 мм.

Решение. Р = аЪ;

~-V(-£):-.+(£):-ii

считая вначале Ъ, а затем а постоянными, находим частные произ­водные функции Р по аргументам а и Ъ:

дР , дР —— = Ь; —— = а. да до

Подставив полученные значения частных производных в формулу средней квадрати-ческой ошибки функции и учитывая, что

^та = ^тЬ — ™% ПОЛУЧИМ

197. Найти среднюю квадратическую ошибку определения площади фигуры ABCDE (рис. 32), вычисленной по измеренным на плане линиям: а = 422 м, Ъ — 528 м, h_x = 280 м, к_г = 340 м, масштаб, плана 1 : 5000. Все линии измерены с ошибкой т = 0,2 мм в масштабе плана.

198. Превышение определено геодезическим нивелированием и вычислено по формуле

h = dctgz + d? + i — l.

Найти среднюю квадратическую ошибку превышения^ если ошибка измерения зенитного расстояния т_г — 5", коэффициент рефракции известен с ошибкой 0,03; расстояние d =? 6 км; влияние ошибок определения остальных компонентов формулы практически незначительно.

Решение.

Так как d и m_h выражаются в линейной мере, необходимо т„ заданную в секундах, выразить в радианной мере (ml/p"). Кроме того, поскольку в геодезических сетях z близко к 90°, можно при­нять sin z = 1. Тогда

72

199. Решить предыдущую задачу при d, равном 4; 10; 20 км; проанализировать, как влияют ошибки т_г и т_к на точность нивели­рования.

200. Вычислить среднюю квадратическую ошибку М среднего значения расстояния, измеренного в прямом и обратном направле­ниях, если средняя квадратическая ошибка измерения в одном направлении т = 1 м.

Решение. Ответ находят по формуле (VIII.19):

Л/Г ^т 1^М AT

М = —г=г = —— = 0,7 м. Уп V2

201. Угол измерен тремя приемами. Найти среднюю квадрати­ческую ошибку М вероятнейшего значения этого угла, если средняя квадратическая ошибка измерения угла одним приемом т = 10".

202. Каждое из двух значений превышения, измеренного на станции по черным и красным сторонам реек, получено со средней квадратической ошибкой m_h = 3 мм. Найти среднюю квадратиче­скую ошибку среднего значения превышения.

203. Вычислить среднюю квадратическую ошибку угла, измерен­ного одним полным приемом, если считать, что:

а) полный прием выполняется при двух кругах и угол вычис­ ляется как среднее из полученных значений;

б) в каждом полуприеме (круге) значение угла вычисляется как разность двух направлений;

в) по каждому направлению делается одно наведение и по два отсчета (при двух совмещениях изображений штрихов), из которых выводится среднее;

г) ошибка отсчета по оптическому микрометру т₀ — 1,5". Зри­ тельная труба обеспечивает ошибку наведения т₀ = 5";

д) влияние ошибок внешней среды и других источников ошибок, не учтенных методикой измерения угла, в расчет не принимается.

Указание. Ошибка угла, измеренного при одном круге,

204. Угол измеряется данным теодолитом одним приемом со средней квадратической ошибкой т = 10". Сколькими приемами следует измерить угол, чтобы среднее значение угла получилось со средней квадратической ошибкой, не превышающей 5"?

SO9I Определить вероятнейшее значение угла, измеренного шестью приемами, и его среднюю квадратическую ошибку (табл. 60).

Пример обработки равноточных измерений дан в табл.61.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения

Контроль вычисления [б²]:

[б²] = [еб] = [е²] - -И! = 107 - ~ = 33,5.

73

отражателя и обратно. При известной скорости распространения радиоволн с D = ¹l₂tc. Определить, с какой точностью необходимо измерить время t, чтобы получить расстояние порядка 10 км с от­носительной ошибкой 1 : 300 000, с я« 300 000 км/с.

209. Определить среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения из ряда двойных измерений линии.

Решение: (табл. 63).

Таблица 63

210. При исследовании ошибок совмещения штрихов вертикаль­ ного круга теодолита ОТ-02М взяты отсчеты по оптическому микро­ метру при двух совмещениях изображений штрихов на 16 установках (табл. 64).

Вычислить среднюю квадратическую ошибку отдельного совме­щения.

211. Для определения длины полевого компаратора расстояние между закрепленными концами линии измерялось десятикратно двумя 24-метровыми проволоками. Вычислить среднюю квадрати­ ческую ошибку отдельного измерения по результатам следующих двойных измерений (табл. 65).

76

216. При выводе формулы средней квадратической ошибки еди­ ницы веса он вычисляется по формуле

Используя это выражение, найти формулу для определения веса превышения при геометрическом нивелировании.

Решение. Обозначив ошибку определения превышения на станции т_ь при п станциях, получим ошибку отметки конечной точки хода т_и = m_h Yⁿ-

Примем за ц ошибку единицы веса ц = m_h Vc_x т. е. ошибку ниве­лирования с станций; подставим т_и и ц:

т\с _с

mfti ⁿ

217. Определить среднюю квадратическую ошибку измерения одного угла ц, в полигонометрии, если известны невязки w замкнутых полигонов, состоящих каждый из n_t углов, и число полигонов N.

Решение. Рассматривая угловые невязки как истинные ошибки сумм, имеем

Найдем значение Р. Средняя квадратическая ошибка т суммы п углов будет т = ц У~п. Если принять вес одного угла 1/ц² за еди­ницу, тогда вес суммы п углов

1 11

отсюда

^N '

218. Вычислить среднюю квадратическую ошибку измерения одного^угла при развитии полигонометрической сети, если получены следующие невязки^углов в полигонах (табл. 68).

78

В задаче условно принимаем число ранний на 1 км хода рав­ным 7.

Таким образом,

_^т^УтУж' ^_м = ^=-/7=8,3мм.

Если число штативов на 1 км хода примерно одинаково для всех линий системы и веса вычисляются по формуле р = c/L, то-среднюю квадрэтическую ошибку превышения по ходу в 1 км на­ходят по формуле

^т«м— yj •

ВЕСА ФУНКЦИИ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

223. Определить вес угла, полученного как разность двух напра­ влений, если средняя квадратическая ошибка измерения направле­ ния равна pi.

Решение. Если средняя квадратическая ошибка направления равна т, то средняя квадратическая ошибка измеренного угла . равна т У~2. Вес направления р_н = 1/т². Вес угла

1 1 _1_

'■■ ^Ру~ (mVTf ~ ^{2го2 2 Рн}'

224. Средняя квадратическая ошибка измерения угла одним приемом т = 2". Чему равен вес угла, полученного из 8 приемов?

Ответ: р = 2.

225. В треугольнике измерены два угла р и у. Чему равен вес третьего угла а, полученного как дополнение до 180° суммы изме­ренных углов, если вес каждого из них принять за единицу?

226. В треугольнике все углы измерены с одинаковой точностью. Чему равен вес суммы углов, если вес каждого угла считать равным единице?

227. Между двумя реперами проложены два нивелирных хода. В первом число штативов 72, во втором — 48. Определить вес пре­вышения по второму ходу, если считать вес превышения, определен­ного по первому ходу, за единицу.

228. В треугольнике измерены два угла, каждый шестью при­емами со средней квадратической ошибкой измерения угла одним приемом 5". Сколькими приемами нужно измерить третий угол другим теодолитом, обеспечивающим измерение угла одним приемом с ошибкой 7", чтобы веса всех трех углов были одинаковы?

Г д а в а IX

УРАВНИВАНИЕ СИСТЕМ И СЕТЕЙ < -

ТЕОДОЛИТНЫХ И НИВЕЛИРНЫХ ХОДОВ

229. Уравнять систему теодолитных ходов с одной узловой точкой (табл. 72) и составить схему ходов. Для первого варианта дан чертеж на рис. 33.

82

230. Вычислить и уравнять высоты точек системы нивелирных ходов с одной узловой точкой по данным нивелирования IV класса, приведенным в табл. 73, рис. 34.

Пример решения задачи (вариант 16) приведен в табл. 74 (рис. .35).

Вычисление в е р о я т н е й ш е г о значения от-f( й т к п vsitotnrn rrvHKTa

Средняя квадратическая ошибка единицы веса

где п — числобходов в системе;

_{fX =} |/i^₌₌23,9 мм.

Средняя квадратическая ошибка нивелирования на 1 км ходе

и ■ 23,9 г, я

т = —~, т±= —т= = 7,6 мм.

Заметим, что₄ если вес вычисляется по формуле р — с/п, где га — число штативов в ходе, т = ц/с]/ [ra]/[L].

ее

231. Произвести уравнивание нивелирной сети IV класса спосо­бом полигонов проф. Попова (во всех вариантах, указанных в табл. 76, за исходные отметки принимать отметки, указанные на рис. 36).

Пример решения (вариант 1, рис. 37).

1. Между исходными пунктами пунктиром обозначают условный ход 1Р2. По этому ходу превышение равно разности твердых отметок h_lt2 = —5,522 м. Оно изменению не подлежит; чтобы это обеспе­ чить, длину хода условно принимают равной нулю.

2. В каждом полигоне по ходу часовой стрелки вычисляют не­вязку в превышениях по формуле f_h — 2 /j. Убедившись в ее допусти­мости, невязку вписывают внутри заготовленной таблички (очерчен­ной жирными линиями). Длину каждого хода обводят кружком.

3. Вычисляют красные числа для каждого полигона по формуле L_t!P, где L_t — длина хода, Р -- периметр соответствующего

Таблица 75

96

в жирную рамочку и распределяют по ходам. Во втором полигоне вторичная поправка хода 4—3 равна +1,- а ход 5—4 получил по­правку в первом круге —1. Таким образом, невязки в полигоне нет; (+1) + (—1) = 0. В /77 полигоне поправка хода 1—4 (—3) дает невязку —3, которую аналогично первому полигону распределяют по ходам. В IV полигоне невязки нет; ходы 2—4 и 4—X получили вторичные поправки соответственно +1 и —1, сумма которых равна 0.

Переходят к третьему кругу распределения невязок. Осталась неучтенной лишь поправка в ходе 5—4 во II полигоне, равная —1. Невязку полигона —1 распределяют на ход 3—5_t красное число которого (0,49) наибольшее в данном полигоне.

5. Находят окончательные значения поправок. Подсчитывают алгебраическую сумму поправок в каждой табличке. Для внешних ходов эти суммы, взятые с обратным знаком, будут окончательными поправками. Их выписывают в скобках внутри полигонов: в первом полигоне (—13), во втором (—14), в третьем (+2). Для каждого общего хода двух смежных полигонов имеются по две таблички, расположенные по разные стороны хода. Так, для хода 3—4 в та- / бличке внутри полигона / поправка +7, для хода 4—3 в табличке внутри полигона II поправка также +7. Последнюю величину переводят на ход 3—4 (в / полигон) с обратным знаком. Складывая

— 7 и —7, находят поправку хода 3—4. Она равна нулю. Действуя в таком порядке, находят поправки остальных внутренних ходов. Для хода 5—4 [—9 -f (—2)] = —И, для хода 4—5 (полигон ///) [(+2) + (^9)] = +11 и т. д.

Контроль уравнивания: сумма поправок должна равняться не­вязке с обратным знаком. Например, в первом полигоне (—19) +

— (—13) + 0 = —32 невязка полигона равна +32.

6. Вычисляют уравненные значения отметок узловых точек

#з = 540,115 + [-2,639 + (-13)] = 537,463,

#4 = 537,463 + [+7,992 + (0)1 = 545,455,

Я₅ = 545,455 + [-3,455 + (+11)] = 542,011

п для контроля получают отметку стенной марки 1

#_х^= 542,011 + [ +3,624 + (+ 2)] = 545,637 м.

а. Средняя квадратическая ошибка измеренного превышения на 1 км нивелирного хода \х (ошибка единицы веса) вычис­ ляется (табл. 77) по формуле

где р — вес, равный 1/L; а б — ошибка превышения в ходе (звене), равная по абсолютной величине поправке хода; подставив значение веса, получим

[*■-[■£!!

г + числе д#бав*чно измеренных величин.

7* 99

Во втором и п ос ледующих приближениях значения высот, записанные в строке 2 , вычислены с учетом при­веденных весов. Например, высота реп. 145 во втором приближении получена следующим образом:

329,418 - 4,878 = 324,540,

302,803 - 21,735 = 324,538,

332,029-7,496 = 324,533,

40x0,31 + 38x0,42 + 33x0,27 = 37,

Я = 324,537.

В каждом приближении используются последние, полученные до этого значения высот смежных пунктов.

Вычисления продолжаются до тех пор, пока значения высоты одних и тех же узловых точек в двух последних приближениях будут одинаковыми в пределах точности вычислений, т. е. 1—2 еди­ниц последнего вычисляемого знака. Последнее из них является искомой уравненной отметкой пункта. Поправки v, которые следует ввести в измеренные превышения по каждой линии, равны разности между уравненной отметкой узловой точки и соответствующим значением высоты узловой точки, полученным в графе последнего приближения по данной линии.

Например, поправка превышения со стен. реп. 79 на грунт, реп. 145 (—7,496) равна 324,538 — 324,530 = +8. Поправка в обрат­ное превышение с реп. 145 на стен. реп. 79 равна 332,026 — 332,034 = = -8.

Контроль правильности вычисления:

к = [p^v] ?g ± 0,5 мм для каждой узловой точки.

Оценка точности. Среднюю квадратическую ошибку единицы веса вычисляют по формуле

^r f z— и

где z — число линий; и — число узловых точек.

Средняя квадратическая ошибка нивелирования на 1 км- хода вычисляется по формуле

V-

т = _Г~.

Ус

105