Двухходовая таблица соответствия логической функции z(X)

x1x2	x3x4
	00	01	10	11
00	0	1	0	1
01	0	0	1	-
10	0	-	0	1
11	1	-	-	0

z(x)

6. В чем состоит практическое значение теоремы Поста-Яблонского?

7. Каким образом на практике реализуются элементарные логические функции одной переменной?

8. Определите значение выходного сигнала z₁ логического элемента, показанного на рис. 2.2,б, если x₁=x₂=1, x₃=0 а с помощью расширителя (входы А и В) реализуется конъюнкция ₁=1.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 2

1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука, 1979.

2. Корнейчук В. И., Тарасенко В.П., Мишинский Ю. Н. Вычислительные устройства на микросхемах.- Киев: Техника, 1986.

2.3. Дискретные устройства АСУ. / Под ред. Тимонькина Г. Н., Харченко В. С. - Мо СССР, 1990.

2.4. Применение интегральных микросхем в электронной вычислительной технике: Справ./Под ред. Б. Н. Файзулаева, Б.В. Тарабрина. - М.: Радио и связь, 1986.

Глава 3 преобразование логических функций

3.1. Основные аксиомы алгебры логики

Из теоремы о функциональной полноте следует, что с помощью некоторых совокупностей логических функций, удовлетворяющих условиям теоремы, можно строить произвольные логические функции, зависящие от конечного числа переменных. Для решения этой задачи необходимо сформировать систему аксиом и правил преобразования, т.е. разработать алгебру, в основу которой должна быть положена выбранная функционально полная система функций.

Исторически первой была разработана алгебра логики, которая включает три элементарные логические функции (операции): конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию. Начало исследований этой алгебры положено в трудах английского ученого Дж. Буля. В связи с этим эту алгебру нередко называют булевой алгеброй или алгеброй Буля.

Алгеброй логики называется совокупность элементов 0,1, х₁, х₂, ..., х_n и операций дизъюнкции, конъюнкции и инверсии, для которых выполняются перечисленные ниже аксиомы.

1. Операции дизъюнкции и конъюнкции:

- ассоциативны (сочетательны):

x₁(x₂x₃ )=(x₁x₂)x₃;

x₁(x₂x₃)=(x₁x₂)x₃;

- коммутативны (переместительны):

x₁x₂=x₂x₁;

x₁x₂=x₂x₁;

- дистрибутивны (распределительны):

x₁x₂x₃=(x₁x₂)(x₁x₃);

x₁(x₂x₃)=x₁x₂x₁x₃.

2. Для каждого х существует х (инверсия или отрицание х) такой, что

3. Элементы 0 и1 такие, что

x0=x;

x1=1;

x0=0;

x1=x;

0=1;

1=0.

4. Для всех элементов х_i(i=1,2, ..., n):

x_ix_i ...x_i =x_i;

x_ix_i...x_i=x_i;

5. Для любых элементов:

;

.

Эти аксиомы называются правилами инверсии.

Рассмотренные аксиомы применимы не только к определенным переменным, но и к группам переменных, объединенных введенными операциями. На базе этих аксиом может быть получено множество тождественных соотношений, которые широко используются в практике преобразования логических формул. Приведем некоторые из них:

x₁x₁x₂=x₁; x₁(x₁x₂)=x₁;

.

В более общем виде:

x_i f (x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n)= x_i f (x₁, x₂, ..., 0, ..., x_n);

x_i f (x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n) = x_i f (x₁, x₂, ..., 1, ..., x_n);

x_i f (x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n)= x_i f (x₁, x₂, ..., 1, ..., x_n);

x_i f (x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n) = x_i f (x₁, x₂, ..., 0, ..., x_n).

Рассмотрим порядок выполнения действий в алгебре логики. При отсутствии в выражении скобок первыми должны выполняться операции отрицания, затем операции конъюнкции и последними операции дизъюнкции. Наличие в выражении скобок изменяет обычный порядок действий. При этом в первую очередь производятся операции внутри скобок.