2.3. Элементарные логические функции
Как указывалось ранее, число различных логических функций очень быстро растет с увеличением числа переменных, и изучить их все невозможно. Однако любую логическую функцию, зависящую от n переменных (n>2), можно выразить через функции, зависящие от одной или двух переменных. Эти функции называют элементарными логическими функциями.
Рассмотрим эти функции.
При n=0 имеются две различных функции: f0=0 и f1=1. Функция f0=0 называется константой 0, а функция f1=1 называется константой 1.
При n=1 имеются четыре логические функции (таблица 2.4).
Таблица 2.4
Элементарные логические функции, зависящие от одной переменной
-
fi
x
Задание функции
Название функции
0
1
формулой
f0
0
0
f0(x)0
Константа 0
f1
1
0
f1(x)=x
Инверсия
f2
0
1
f2(x)=x
Повторения
f3
1
1
f3(x)=1
Констант 1
Функции f0(x) и f3(x) фактически не зависят от x:
f0(x)0; f3(x)1,
т.е. совпадают с функциями нуля переменных.
Значение функции f1(x) совпадает со значением переменной:
f1(x)=x
Это функция повторения.
Значение функции f2(x) противоположно (инверсно) значению переменной x:
f2(x)
=
.
Функцию f2(x) называют функцией отрицания (инверсией, функцией НЕ). Отметим, что для каждой функции одной переменной существует инверсная ей функция:
f0(x) =f3(x) ; f3(x) =f0(x);
f1(x) =f2(x); f2(x) =f1(x);
Таблица 2.5
Элементарные логические функции, зависящие от двух переменных
-
Набор
Задание функции
Название функции
x1
0
1
0
1
формулой
x2
0
0
1
1
f0
0
0
0
0
f0(x)0
Константа 0
f1
1
0
0
0
f1(x)=x1 x2
Функция Пирса [или-не]
f2
0
1
0
0
f2(x)= x1 x2
Запрет x2
f3
1
1
0
0
f3(x)=x2
Отрицание x2
f4
0
0
1
0
f4(x)= x2 x1
Запрет x1
f5
1
0
1
0
f5(x)=x1
Отрицание x1
f6
0
1
1
0
f6(x)= x1 x2
Сложение по модулю 2
f7
1
1
1
0
f7(x)= x1 / x2
Функция Шефера[и-не]
f8
0
0
0
1
f8(x)= x1 x2
Конъюнкция [и]
f9
1
0
0
1
f9(x)=x1 x2
Эквивалентность
f10
0
1
0
1
f10(x)= x1
Повторение x1
f11
1
1
0
1
f11(x)=x2x1
Импликация x2 в x1
f12
0
0
1
1
f12(x)=x2
Повторение x2
f13
1
0
1
1
f13(x)=x1 x2
Импликация x1 в x2
f14
0
1
1
1
f14(x)= x1 x2
Дизъюнкция [или]
f15
1
1
1
1
f15(x)1
Константа 1
Логические функции двух переменных приведены в таблице 2.5. Очевидно, что функции
f0(x) = 0; f3(x) =x2 ; f5(x) =x1 ;
f10(x)=x1; f12(x)=x2; f15(x)=1
являются элементарными функциями, зависящими от одной переменной. Это вырожденные функции. Остальные десять функций зависят от двух переменных. Функция f8(x1, x2), принимающая значение 1 на наборе 11, а на остальных наборах равная 0, носит название конъюнкции x1 и x2 (логическая функция И). Для ее обозначения будем применять точку или вообще опускать всякий знак (символ) между переменными x1 и x2, т.е.
f8(x1, x2)= x1x2.
Функция f14(x1, x2), принимающая значение 1, когда хотя бы одна из переменных равна единице, носит название дизъюнкции x1 и х2 (логическая функция ИЛИ). Для ее обозначения будем применять символ “” между переменными х1 и х2 т.е.
f14(x1x2)= x1 x2.
Функция f1(x1, x2), принимающая значение 1на наборе 00, а на остальных наборах равная 0, носит название функции Пирса или функции ИЛИ-НЕ. Для ее обозначения применяется символ между переменными х1 и х2 т.е.
f1(x1, x2)= x1 x2.
Функция f7(x1, x2), принимающая значение 0 на наборе 11, а на остальных наборах равная 1, носит название функции Шеффера, или функции И-НЕ. Для ее обозначения применяется символ между переменными х1 и х2 т.е.
f7(x1, x2)= x1 x2.
Функция f9(x1, x2), принимающая значение 1только тогда, когда значения х1 и х2 совпадают, носит название функции эквивалентности. Для ее обозначения используется символ между переменными х1 и х2 т.е.
f9(x1, x2)= x1 x2.
Функция f6(x1, x2), принимающая значение 1только тогда, когда значения х1 и х2 противоположны, носит название функции сложения по модулю два (неэквивалентности, неравнозначности). Для ее обозначения используется символ между переменными х1 и х2 т.е.
f6(x1, x2)= x1 x2.
Функция f11(x1, x2) и f13(x1, x2) принимающие значение 0 только на наборах 01 или 10 соответственно, а на остальных наборах равные 1, носят название функции импликации х2 в х1 или х1 и х2. Для обозначения этих функций применяется символ “”между переменными х2 и х1 или х1 и х2 т.е.
f11(x1, x2)= x2 x1;
f13(x1, x2)= x1 x2.
Функция f2(x1, x2) и f4(x1, x2) принимающие значения 1 только на наборах 10 или 01 соответственно, а на остальных наборах равные нулю, носят название функций запрета х2 или х1 и записываются следующим образом:
f2(x1, x2)= x1 x2;
f4(x1, x2)= x2 x1.
Значение рассмотренных функций состоит в том, что из них может быть построена произвольная логическая функция, зависящая более чем от двух переменных. Логические функции, зависящие более чем от двух переменных, называются сложными логическими функциями.