Минимизация ф а л

При построении цифровых устройств, реализующих заданные логические функции, возникает задача нахождения таких форм функций, при которых построенный в соответствии с ними автомат отличался бы минимальным расходом логических элементов на его изготовление (в более общей формулировке – минимальной стоимостью).

Минимизацией – называется процесс сокращения числа операций и переменных, входящих в аналитическое выражение для ФАЛ.

При решении задач минимизации ФАЛ, зависящих от небольшого числа переменных (п ≤ 6), находят широкое применение графические методы. При большем числе переменных эти методы теряют свое основное свойство – наглядность – и становятся не эффективными.

Среди графических методов минимизации наиболее распространенным является метод карт Карно, который основан на использовании способности человека к быстрому построению зрительных образов – контуров.

Карта Карно представляет собой двух координатную таблицу, разделенную на клетки. Каждой клетке поставлены в соответствие наборы значений переменных логической функции. Наборы, представленные соседними клетками отличаются значением только одной переменной. Соседними являются две рядом лежащие клетки, расположенные в одном столбце или строке (т.е. по горизонтали или вертикале, но не по диагонали). Свойство соседства присуще также концам каждого столбца или строки: нижняя клетка в любом столбце является соседней по отношению к верхней клетке того же столбца, а правая клетка любой строки является соседней относительно левой клетки той же строки. Такое соседство обеспечивается правильным проставлением координат клеток по вертикали и горизонтали карты Карно. Каждая координата отличается от соседней только одним разрядом (это и краевым координатам относительно друг друга). Порядок следования горизонтальных и вертикальных координат должен совпадать.

Между представлением функции в табличной (таблица истинности), алгебраической (в виде СДНФ и СКНФ) и координатной (карта Карно) формах имеется однозначное соответствие : карта Карно содержит k = 2^п клеток (п – число переменных данной логической функции), что равно количеству строк в таблице истинности функции или числу единичных наборов переменных СДНФ и нулевых наборов переменных СКНФ, вместе взятых.

Принято называть клетки карты Карно, в которых представлены единичные значения функции, единичными (обозначаются они в карте – „1“), а клетки, соответствующие нулевым значениям функции, - нулевыми (на карте Карно они обычно не отмечаются).

x₃x₄ 00 01 11 10

0 0 1

01 1 1

1 1 1 1

10 1

В основе метода минимизации с помощью карт Карно лежит операция (правило) склеивания:

х ₁х₂+ х₁х₂= х₁(х₂+ х₂)=x₁

Рассмотрим действие этого правила на конкретном примере (Рис.11)

Совокупность 2ⁱ(i=0,1,2,…6) соседних клеток карты Карно называется подкубом. Подкубы могут содержать: 1, 2, 4, 8, 16… и т.д. клеток, т.е. размерность подкуба определяется числом входящих в него клеток. В подкубы можно объединять как единичные наборы (конъюнктивные термы), так и нулевые (дизъюнктивные термы), и называться они будут соответственно единичными и нулевыми подкубами. Под кубы образуются с целью исключения 1, 2 или нескольких переменных, входящих в единичные или нулевые наборы, с помощью правила склеивания. На рис.11 показаны примеры 2,4 – клеточных подкубов. Чтобы получить МДНФ, необходимо взять дизъюнкцию единичных наборов переменных, входящих в подкуб, т.е. сложить вклады всех подкубов. При этом если переменные меняют свое значение в разных наборах, они исключаются по правилу склеивания. Для каждого примера (рис.11):

В клад 1 2х-клеточных подкуба: ₊ х₁х₂х₃х₄

х₁х₂х₃х₄

x₁+x₁=1 х₂х₃х₄

В клад 2 4х-клеточный подкуб:₊ х₁х₂х₃х₄

x₁+x₁=1 х₁х₂х₃х₄

x₃+x₃=1 х₁х₂х₃х₄

х₁х₂х₃х₄

x₂x₄

F_МДНФ=х₂х₃х₄+х₂х₄

Чтобы с помощью карты Карно успешно решать задачи минимизации логических функций, необходимо знать и уметь различать типичные конфигурации подкубов. На рис.12 показаны типичные конфигурации 2-х, 4-х и 8- клеточных подкубов. Особое внимание следует обращать на подкубы, которые имеют видимый разрыв, т.к. объединяемые ими соседние клетки находятся в крайних строках и столбцах карты Карно.

х₃х₄ 00 01 11 10 х₃х₄00 01 11 10