Следствие из законов булевой алгебры
Из рассмотренных выше законов выведем ряд следствий, которые сформулируем в виде правил.
Правило старшинства логических операций. По аналогии с арифметическими действиями будем считать отрицание – логическим действием первой ступени (старшей логической операцией), конъюнкцию – действием второй ступени, а дизъюнкцию – действием третьей ступени (младшей логической операцией).
П равило склеивания обеспечивает упрощение логических выражений:
(x1+x2)*(x1+x2)=1 x1*(x1+x2)=x1
x 1*x1+x1*x2+x1*x2+0=x1*(1+x2+x2)=x1 x1(x2+x2)=x1
1
1
Правило поглощения также позволяет упростить выражения:
x1+x1*x2=x1 x1(x1+x2)=x1
x
1(1+x2)=x1
x1*x1+x1*x2=x1(1+x2)=x1
1 1 1
Канонические формы фал.
Важным этапом построения сложных дискретных устройств является определения способа соединения между собой логических элементов, обеспечивающих работу устройства в соответствии с заданным законом функционирования. Однако, любая функция алгебры логики выражается через исходные функции неоднозначно. Поэтому требуется найти такую форму её представления, которая позволяет построит наиболее простую электрическую схему. При решении этой задачи заданную функцию алгебры логики дискретного устройства вначале оказывается удобным представить в некоторой исходной канонической форме, которую называют нормальной.
Каноническими формами преставления функции алгебры логики является
СДНФ и СКНФ, ДНФ и КНФ.
Д НФ –это дизъюнкция конечного числа элементарных конъюнкций. Конъюнкцию называют элементарной, если она представляет собой произведения переменных без скобок: например:
F(х1,…х4)=х1х2+х3х4+х1х3х4..
Н
аряду
с нормальными могут быть и другие
дизъюнктивные формы. Например:
дизъюнктивную форму х1х2+х2х3
нельзя назвать
нормальной, т.к. х1х2
не является элементарной конъюнкцией.
К НФ- это конъюнкция конечного числа элементарных дизъюнкций. Дизъюнкцию называют элементарной, если она представляет собой дизъюнкцию одиночных переменных или их инверсий. Например:F(х1…х4)=(х1+х3)(х1+х2+х4)(х2+х3)
Н аряду с нормальными могут быть и другие конъюнктивные формы.
Например, конъюнктивную форму (х1+х3)(х2+х3) нельзя назвать нормальной,
т .к. х1+х3 не является элементарной дизъюнкцией. Любое логическое выражение может быть представлено в нормальной форме с помощью
следующих действий (преобразований):
В результате многократного применения законов инверсии снимаются
общие и групповые отрицания так чтобы отрицания остались только у одиночных переменных;
С помощью распределительных законов производятся переход к одной из
нормальных форм функции:
а) для перехода к ДНФ применяется распределительный закон первого рода
(раскрываются все скобки)
б) для перехода к КНФ применяется распределительный закон второго рода.
Пример 1. Представить в ДНФ функцию:
И спользуя закон F=х2х3+(х1+х2)=х2х3*(х1+х2)=(х2+х3)(х1+х2)=
и нверсии, получим =х1х2+х2*х2+х1х3+х2х3=
Д
алее
используем правило поглощения:
=х1х2+х2+х1х3+х2х3=х2+х1х3
Пример2. Представить в КНФ функцию:
F=х1+х1+х2+х3=х1+х1х2х3=(х1+х1)(х1+х2)(х1+х3)
1
Две другие канонические формы функции СДНФ и СКНФ являются исходными при минимизации ФАЛ. Поэтому очень важно уметь получать эти формы из таблицы истинности функции и из ДНФ и КНФ.
СДНФ – представляет собой алгебраическое выражение, которое принимает значение равное 1, на тех наборах переменных, на которых значение заданной функции равно 1.
СКНФ – представляет собой алгебраическое выражение, которое принимает значение 0 на тех наборах переменных, на которых значение заданной функции равно 0.
Рассмотрим такой пример. Пусть функция f (х1 х2 х3) задана таблицей истинности:
Табл. 3
№ |
Х1 |
х2 |
х3 |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Для нахождения СДНФ выбирают из табл.3 только те строки, на которых функция равна 1 (0, 4, 6, 7). В СДНФ записывают конъюнкции переменных в прямом виде, соответствующие выбранным строкам:
х 1х2х3, х1х2х3, х1х2х3, х1х2х3
Соединяя эти конъюнкции знаками дизъюнкции, окончательно получим:
F СДНФ=х1х2х3+ х1х2х3+ х1х2х3+ х1х2х3
Д ля получения из таблицы истинности СКНФ рассматриваем наборы переменных, на которых функция равна 0 (1, 2, 3, 5). Выписываем дизъюнкции, соответствующие этим наборам, причем в инверсном виде, т.е.
х 1 +х2 +х3; х1+ х2 +х3; х1 +х2 +х3; х1 +х2 +х3;
Все полученные дизъюнкции соединяем между собой знаками конъюнкций:
F =(х1 +х2 +х3)* (х1 +х2 +х3)*( х1 +х2 +х3)*( х1 +х2 +х3)
Для перехода от ДНФ к СДФ в каждый из наборов, в которых представлены не все аргументы, следует ввести выражение вида
хi+хi(где хi- отсутствующая в наборе переменная).
Т ак как хi+хi=1, то такая операция не изменяет значения функции.
Н апример: Получить СДНФ из ДНФ: FДНФ=х1+х2х3
F
=х1*(
х2
+х2)*
(х3 +х3)+(
х1+х1)*(
х2
х3)=(x1*x2+x1
x2)*(x3*x3)+
х1х2х3+х1х2х3=
х1х2х3+
х1х2х3+
х1х2х3+
х1х2х3+
х1х2х3+
х1х2х3
Для перехода от КНФ к СКНФ к каждому набору не содержащему
Всех переменных, и инверсных значений отсутствующих переменных:
хi хi. Окончательное выражение для СКНФ получается после использования распределительного закона 2 рода и исключения лишних
наборов на основе закона повторения. Например: Получить СКНФ
и з КНФ: FКНФ=( х2 +х3)* (х1 +х3);
F
СКНФ=(
х2
+х3)*
(х1 +х3)=
(x1*x1+x2+
x3)*(x1+x2*x2+x3)=(x1+x2+x3)*
(x1+x2+x3)*
(x1+x2+x3)*(x1+x2+x3)
C ДНФ и СКНФ – это разные формы записи одной и той же функции, т.е. они равны. Докажем это, пользуясь таблицей истинности функции логической неравнозначности:
FСДНФ= х1х2+ х1х2
F
СКНФ=(
х1
+х2)*
(х1 +х2)=
х1х1+
х1х2+
х1х2+
х1х2=
х1х2+
х1х2
0 0
-
№
х1х2
f
0
0 0
0
1
0 1
1
2
1 0
1
3
1 1
0