Моделирование проблем ракетостроения

1. Объект исследования.

Данная работа будет заключаться в изучении полёта одно- и многоступенчатых ракет. Моделирование производится с помощью пакета MATLAB.

Упрощение модели.

Для проведения эксперимента будем пренебрегать такими факторами, как сопротивление воздуха, гравитация и другие действующие на ракету силы (учитывая только тягу реактивных двигателей). В таком случае простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса.

2. Исследование одноступенчатой ракеты.

Теоретическое решение.

Первая космическая скорость.

Рассчитаем в начале первую космическую скорость – скорость, которую необходимо придать телу, чтобы вывести его на круговую орбиту. Если рассматривать систему отсчёта, связанную с Землёй, то на тело будут действовать две силы: центробежная сила и сила тяготения. И при достижении объектом первой космической скорости эти силы будут равны.

,

где m – масса объекта, M – масса планеты, G – гравитационная постоянная , v₁ – первая космическая скорость, R – радиус планеты.

Подставляя численные значения для Земли , найдём

.

Одноступенчатая ракета.

Перейдём к рассмотрению одноступенчатой ракеты. Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают расположенные в кормовой части выхлопные сопла со скоростью u (3-5 км/с). За малый промежуток времени dt между моментами времени t и dt часть топлива выгорела, и масса ракеты изменилась на величину dm. Изменился также импульс ракеты, однако суммарный импульс системы "ракета плюс продукты сгорания" остался тем же, что и в момент t. Если v(t) – скорость ракеты, ‑ средняя за промежуток dt скорость истекающих из сопел газов (скорости рассматриваем относительно Земли), то закон сохранения импулься в данной системе можно записать следующим образом.

Первый член в правой части этого равенства – импульс ракеты в момент t+dt, второй – импульс, переданный истекающим газом за время dt.

Учитывая, что , закон сохранения импульса можно переписать в виде дифференциального уравнения, называемого дифференциальным уравнением Мещерского для материальной точки переменной массы (в нашем случае знаки левой и правой части уже учитывают направления векторов скоростей v и u).

Здесь член ‑ сила тяги ракетных двигателей. Теперь преобразуем и проинтегрируем уравнение.

(v₀ ‑ скорость ракеты в момент t=0, m₀ – начальная масса ракеты (ракета + груз + топливо).)

Если v₀=0, и m₁ – конечная масса после сгорания всего топлива (т.е. полезная масса (груз) m_p + масса пустой ракеты m_s) ,то максимальная скорость ракеты, достигаемая при полном сгорании топлива, равна

.

Полученная формула называется формулой Циолковского и определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Скорость в данном случае называется характерестической.

Введём величину , которая при m_p=0 характеризует отношение массы пустой ракеты к массе ракеты с топливом. При практически реальных значениях (см. "Математическое моделирование. Идеи, Методы, Примеры. Самарский, Михайлов. Физматлит, 2001") и при m_p=0 получаем

.

Отсюда следует, что даже в самой идеальной ситуации (полезная масса равна нулю, отсутствуют гравитация и сопротивление воздуха и т.д.) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космическо скорости.

Моделирование полёта одноступенчатой ракеты.

Рассмотрим ‑ зависимость максимальной скорости, которую может развить ракета, от соотношения массы ракеты и массы топлива (для упрощения будем считать полезную массу равной нулю). .

j=1;

u = 3000;

for lambda = 0.01:0.01:0.9

vmax(j,1)= u * log(1/lambda);

j = j + 1;

end

v1=7.91e3;

lambdamax = 1 / (exp(1))^(v1/u);

Построим график зависимости и отметим точку, соответствующую первой космической скорости.

v_max(0.0716)=7.91км/с.

Таким образом, чтобы одноступенчатая ракета без полезной нагрузки достигла первой космической скорости, масса топлива должна быть примерно в 13 раз больше массы ракеты. При значении λ=0.1 отношение масс равно 9/1.

Теперь рассмотрим зависимость .

j=1;

u = 3000;

for i = 0.1:0.1:20

v(j,1)=u*log(i+1);

j = j + 1;

end

i = exp(7.91e3/3e3) - 1;

В данном случае для достижения первой космической .

Для примера рассчитаем необходимое значение топлива для вывода на орбиту ракеты массой 10 тонн и полезной нагрузкой в 1 тонну.

m1 = 11000;

mt= m1*(exp(7.91e3/3e3)-1)

Получаем m_t=142.630 тонн, что, очевидно, очень много для груза всего в одну тонну.

Посмотрим, как расходуется топливо в полёте. Считая скорость сгорания топлива постоянной, получаем линейную зависимость m(t).

function [mt] = rocket_fuel()

% масса топлива в полёте

%vt = 3; %скорость сгорания топлива, кг/с

mto = 50e3; %начальная масса топлива, кг

for vt = 1:1:10

for i = 1:(mto/vt)

mt(i,vt) = mto - vt*i;

end

end

end

Построим теперь график зависимость скорости ракеты от времени полёта.

u=3e3;

vt = 5; %скорость сгорания топлива, кг/с

mt0 = 50e3; %начальная масса топлива, кг

m0 = mt0 + 11e3; %начальная масса ракеты со всем вместе

for i = 1:(mt0/vt) %время по секундам до окончания топлива

m = m0 - vt*i;

v(i,1)=u*log(m0/m);

end

Здесь изображены следующие кривые, слева направо: v(v_t=10), v(v_t=5), v(v_t=2), v(v_t=1).

Таким образом, чем выше скорость сгорания топлива, тем быстрее ракета достигнет максимальной скорости, но при неизменном количестве топлива эта скорость также остаётся постоянной.

Теперь сравним максимально достижимые скорости при различных скоростях истечения топлива

mt=50e3;

m1=11e3;

i=1;

for u=1000 : 1000: 6000

v(i,1)=u* log(1+ mt/m1);

i=i+1;

end

Таким образом, изменение этого параметра существенно влияет на величину максимально достижимой скорости, и при достаточных показателях первая космическая скорость может быть достигнута.

3. Исследование многоступенчатой ракеты

Теоретическое решение

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введём обозначения:

‑ масса i-й заправленной ступени,

‑ масса i-й пустой ступени,

‑ скорость сгорания топлива в i-й ступени,

‑ полезная нагрузка,

n – число ступеней.

Тогда формула Циолковского будет выглядеть следующим образом:

При этом максимальная скорость многоступенчатой ракеты достигается в том случае, когда каждая отбрасываемая ступень уменьшает массу ракеты в одинаковое число раз. (Данная формула симметрична по отношению к величинам α₁, α₂, …, α_n, и его максимум достигается в симметричном случае, когда α₁=α₂=…=α_n.)

Таким образом, для ракеты с n ступенями отношение полной массы ракеты к полезной для достижения скорости v_max рассчитывается по формуле:

.

Максимальная скорость ракеты в этом случае находится следующим образом.

.

Практические расчёты

Построим графики зависимостей отношения масс от скорости ракеты v_n после отработки всех запасов топлива для различных значений n.

function [m] = fuuu(n)

u=3;

lambda=0.1;

i=1;

for v=0.1:0.1:20

m(i)=((1-lambda)/(exp(-v/(n*u))-lambda))^n;

i=i+1;

end

end

На графике изображены кривые для 2,3,4,5,6 ступеней (по порядку слева направо). Таким образом, видно ,что добавление 4й и последующих ступеней уже не столь эффективно и даёт небольшое уменьшение массы ракеты.

Увеличим масштаб и рассмотрим необходимое соотношение масс для достижения первой космической скорости.

Число ступеней, n	2	3	4	5	6
	28.6897	23.1676	21.5504	20.7829	20.3357

Как видно, добавление пятой и шестой ступеней в данных условиях практически бесполезно.

4. Заключение.

Таким образом, в данной работе было смоделировано движение одно- и многоступенчатых ракет при различных начальных параметрах и установлены оптимальные данные для достижения ракеты первой космической скорости.

Выполнила: Кирпичёва Ольга, МП-34.

2011

8