1. Выполнение работы.

1.1. Постановка задачи.

1. Исследование одноступенчатой ракеты.

Вычислить структурную массу, массу топлива. Задать закон изменения массы топлива в процессе полета. Исследовать скорость ракеты в зависимости от наших параметров. Обосновать выбор параметров и зависимость уменьшения массы топлива. Сделать выводы из своего исследования и отчет.

2. Исследование полета многоступенчатой ракеты.

Идеализированную модель описать самостоятельно. Сделать выводы из своего исследования и отчет.

1.2. Упрощение.

Пренебрежем сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая тягу реактивных двигателей. Будем рассматривать ракету как материальную точку.

1.3. Выполнение.

1.3.1. Одноступенчатая ракета.

Продукты сгорания ракетного топлива покидают сопла со скоростью u=3 км/с. За малый промежуток времени dt между моментами t и t+dt часть топлива выгорела, и масса ракеты изменилась на dm.

Применим закон сохранения импульса

где - скорость ракеты, - средняя за промежуток времени dt скорость истекающих из сопел газов.

Также, по формуле Тейлора имеем:

.

Подставив данные выражения в наше уравнение, получаем:

с точностью до членов более высокого порядка малости, чем dt.

Отсюда получаем - дифференциальное уравнение для .

Чтобы получить задачу Коши, нам нужно добавить начальные условия: .

Получили задачу Коши:

Получаем: - скорость ракеты в момент времени t.

Посмотрим, какую максимальную скорость может развить одноступенчатая ракета:

, так как стартовая скорость нашей ракеты равна 0, то имеем:

.

Примем полезную массу равной 0, а , u=3км/сек. Получаем:

.

Так как максимальная скорость которую может развить ракета меньше первой космической, то вылететь за пределы Земли на ней не удастся..

Теперь построим график изменения скорости ракеты, от количества сгоревшего топлива.

m0=1;

mp=.01;

lambda=.1;

ms=m0*lambda;

mt=m0-mp-ms;

[m0 mt ms mp]

mtt=0:.01:mt;

u=3;

v=u*log(m0./(m0-mtt));

plot(v)

Получаем следующий график:

1.3.2. Многоступенчатая ракета.

Пусть - общая масса i-ой ступени, - соответствующая структурная масса (при этом масса топлива равна величине ), - масса полезной нагрузки. Для простоты допустим, величины и скорость истечения газов u одинаковы для всех ступеней.

Рассмотрим 3-ёх ступенчатую ракету.

Начальная масса такой ракеты будет вычисляться по формуле: .

Когда израсходовано всё топливо первой ступени масса ракеты равна величине:

.

Тогда по формуле для скорости одноступенчатой ракеты имеем:

.

После достижения этой скорости (), структурная масса () отбрасывается и включается вторая ступень. Масса ракеты в этот момент равна

.

После выгорания топлива во второй и третей ступени скорость соответственно равна:

.

Подставляя эти формулы, друг в друга, получаем:

,

или, вводя величины , , получаем:

.

Исследуем эту формулу, найдём при каких значениях , она будет принимать максимальное значение.

Нетрудно показать, что максимальное значение будет достигаться при равных значениях альфа.

Тогда формула будет выглядеть так:

Аналогичный результат получаем для n ступеней:

.

Получаем:

, , .

1) Пусть у нас m0/mp=100. Посмотрим какую скорость мы можем развить с помощью 3-х ступенчатой ракеты.

m0=100;mp=1;lambda=0.1;u=3;

h=(m0/mp)^(1/3);

v=u*log((h/(1+lambda*(h-1)))^3)

v=11.0207

С помощью двухступенчатой: v=9.9644

С помощью четырехступенчатой: v=11.4665

С помощью пятиступенчатой: v=11.7036

2) Пусть нам нужно достичь 8км/с. Узнаем достаточное m0/mp для трехступенчатой ракеты:

v=8;lambda=0.1;u=3;

P=exp((-v)/(3*u));

koef=((1-lambda)/(P-lambda))^3

m0/mp=24.2090

Для двухступенчатой: m0/mp=30.2645

Для четырехступенчатой: m0/mp=22.4603

Для пятиступенчатой: m0/mp=21.6344

2. Вывод.

В данной работе мы доказали, что рассмотренная нами модель одноступенчатой ракеты не может развить скорость 8км/с. После применения полученных результатов к модели многоступенчатой ракеты, оказалось, что можно развить скорость гораздо больше чем 8 км/с. Так же мы узнали минимальное отношение массы ракеты на старте к полезной нагрузке для достижения нужной скорости.