Лабораторная работа №5

Моделирование проблем ракетостроения

1. Исследование одноступенчатой ракеты

   1. Параметры:

Зададим параметры к нашей одноступенчатой ракете, при помощи которых будем получать результирующую скорость.

• u - скорость истечения сгорающего топлива (3 км/с);

• m0 - масса ракеты на старте;

• mp - "полезная" нагрузка;

• lambda - коэффициент структурной массы (ms).

1. Поставленные задачи при исследовании одноступенчатой ракеты

• Найти ms – структурная масса,

• Найти mt - массу топлива

• Задать закон изменения массы топлива mtt в процессе полета

• Исследовать зависимость скорость ракеты в зависимости от параметров

3. Выполнение моделирования

Возьмем предположим:

• истечения сгорающего топлива u = 3 км/с,

• массу ракеты на старте m0=1;

• Полезная нагрузка mp= 0.01;

• Коэффициент структурной массы lambda=0.1

Тогда структурная масса будет равна

ms = m0*lambda;

А масса топлива будет вычисляться по формуле

mt = m0 - mp – ms

Запишем закон изменения массы топлива в процессе полета

M(t+dt)=m(t) + (dm/dt)*dt + O(dt*dt);

Пользуясь законом сохранения импульса и после этого интегрируя, получаем

V=V0+u*ln(m0/m(t))

Где V0, m0 – соответственно скорость и масса ракеты в момент t=0;

Так как у нас начальная скорость ракеты V0= 0 и максимальная скорость ракеты достигается в момент времени, когда закончится всё топливо получаем формулу

V=u*ln(m0/(mp+ms); Формула Циолковского

Введем величину

lambda = ms/(m0-mp), которая характерезуется при mp=0 отношение структурной и начальной масс ракеты.

Таким образом получаем формулу

v=u*log(m0./(m0-mtt));

Построим график скорости в зависимости от потери массы

m0=1;mp=.01;lambda=.1;ms=m0*lambda;mt=m0-mp-ms;

[m0 mt ms mp]

mtt=0:.01:mt;

u=3;v=u*log(m0./(m0-mtt));

plot(v)

Таким образом, при самых идеальных условиях при mp=0 получаем V=7км\с

4. Вывод

В самой идеальной ситуации (полезная масса равна 0, отсутствует гравитация и сопротивление воздуха и т.д.) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космической скорости

2. Моделирование многоступенчатой ракеты

   1. Расчеты

Как было установлено в конце п.1, реальная одноступенчатая ракета неспособна развить первую космическую скорость. Причина этого - затраты горючего на разгон ненужной, отработавшей части структурной массы. Следовательно, при движении ракеты необходимо периодически избавляться от балласта.

Пусть mi — общая масса i -й ступени, lambda*mi - соответствующая структурная масса (при этом масса топлива равна величине (1-lambda)*mi ), mp - масса полезной нагрузки. Величины и скорость истечения газов одинаковы для всех ступеней. Возьмем для определенности число ступеней n= 3. Начальная масса такой ракеты равна

m0=mp+m1+m2+m3

Рассмотрим момент, когда израсходовано все топливо первой ступени и масса ракеты равна величине

mp+m1+m2+m3

Первоначальной модели скорость ракеты равна

V1=U*ln(m0/(mp+lambda*m1+m2+m3))

После достижения скорости v1 структурная масса lambda*m1 отбрасывается и включается вторая ступень. Масса ракеты в этот момент равна

mp+m2+m3

Все рассуждения о сохранении суммарного импульса и соответствующие выкладки остаются в силе (следует только учесть, что у ракеты уже есть начальная скорость vi ). После выгорания топлива во второй ступени ракета достигает скорости

V2=V1 + U*ln((mp+m2+m3)/(mp+lambda*m2+m3))

Такие же рассуждения применимы и к третьей ступени ракеты. После отключения ее двигателей скорость ракеты равна

V3=V2 + U*ln((mp+m3)/(mp+lambda*m3))

Эту цепочку нетрудно продолжить для любого числа ступеней и получить соответствующие формулы.

V3/u=ln((m0/(mp+lambda*m1+m2+m3)))*((mp+m2+m3)/(mp+lambda*m2+m3))* ((mp+m3)/(mp+lambda*m3))

Вводя величины

Al1=m0/(mp+m2+m3); Al2=(mp+m2+m3)/(mp+m3); Al3= (mp+m3)/mp

Получаем

V3/u=ln((al1/(1+lambda*(al1-1))*(al2/(1+lambda*(Al2-1))*(Al3/(1+lambda*(Al3-1))

Данное выражение симметрично по отношению к величинам al1, al2, al3 и нетрудно показать, что его максимум достигается в симметричном случае, т.е. при al1=al2=al3=al.

При этом для i=3

P=exp(-V3/3*U)

Al=(1-lambda)/(P-lambda),

Далее получаем

Al^3=m0/mp=((1-lambda)/(P-lambda))^3

Для многоступенчатой ракеты получаем аналогичное соотношение

m0/mp=((1-lambda)/(P-lambda))^n;

P=exp(-V3/n*U)

Проанализируем последнюю формулу. Примем Vn = 10,5 км/с,lambda =0,1. Тогда для n = 2, 3, 4 получаем

m0=149 mр,

m0= 77mp,

m0= 65mp

2. Построение графика

axis([0 1000 0 10000]);

hold on;

j=1;

k=1;

p=1;

for i=0:.01:(mt1+mt2+mt3)

if(i<mt1)

plot(1000*i,v1(k),'y.')

k=k+1;

else

if (i<(mt1+mt2))

plot(1000*i,v2(p)+v1(k-1),'g.')

p=p+1;

else

plot(1000*i,v3(j)+v1(k-1)+v2(p-1),'r.')

j=j+1;

end

end

end

3. Вывод

Это значит, что двухступенчатая ракета пригодна для выведения на орбиту некоторой полезной массы (однако при одной тонне полезного груза необходимо иметь ракету весом 149 тонн). Переход к третьей ступени уменьшает массу ракеты почти в два раза (но, конечно же, усложняет ее конструкцию), а четырехступенчатая ракета не дает заметного выигрыша по сравнению с трехступенчатой.