1. Выполнение работы (одноступенчатая ракета)

1.1. Что является объектом исследования?

Объектом исследования является идеализированная модель одноступенчатой ракеты. Исследуется скорость в зависимости от массовых параметров. Предполагается в исследовании получить возможную скорость ракеты как минимум 8 км/с.

1.2. Упрощающие предположения

Пренебрежем сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей. Также будем считать нашу ракету материальной точкой.

1.3. Модель одноступенчатой ракеты

1.3.1. Описание

1) Продукты сгорания ракетного топлива покидают сопла со скоростью u=3 км/с.

За малый промежуток времени dt между моментами t и t+dt часть топлива выгорела, масса ракеты уменьшилась на dm. Запишем закон сохр. импульса:

m(t)*v(t)=m(t+dt)v(t+dt)-dm*(v(t+k*dt)-u), 0<k<1 (1)

Здесь v(t+k*dt) – средняя скорость ракеты за промежуток от t до t+dt.

2) Запишем закон сохранения массы:

m(t)=m(t+dt)+dm (2)

3) Воспользовавшись (2) перепишем (1) в виде дифференциального уравнения:

m*(dv/dt)=-u*(dm/dt)

Решаем, получаем:

v(t)=v0+u*ln(m0/m(t)) (3)

Учитывая, что v0=0, получим:

v(t)=u*ln(m0/m(t))

Распишем m(t)=ms+mp+mt(t), где ms - структурная масса (масса ракетной конструкции – топливных баков, двигателей и т. д.), mp – полезная масса (масса спутника – его то мы и пытаемся разогнать!!!), mt – масса топлива.

В итоге, когда топливо закончится, получаем максимальную скорость:

v=u*ln(m0/(ms+mp))

Ясно, что чем больше топлива мы помещаем в ракету, тем больше ее структурная масса. Введем коэффициент lambda=ms/(m0-mp)=ms/(ms+mt0). В реальности он примерно равен lambda=0.1

Пусть у нас идеальный случай и масса спутника ms=0. Тогда максимально развитая скорость равна:

v=u*ln(1/lambda)=7 км/с

То есть даже в самых идеальных условия невозможно достичь 8 км/с с помощью одноступенчатой ракеты.

1.3.2. График скорости от mt(t)

C помощь MATLAB можно посмотреть, как будет набирать скорость эта ракета.

Зададим начальные значения:

m0=1;mp=.01;lambda=.1; u=3;

Найдем структурную массу и массу топлива:

ms=(m0-mp)*lambda;mt=m0-mp-ms;

[m0 mt ms mp]

ans =

1.0000 0.8910 0.0990 0.0100

Построим график скорости от mt(t):

mtt=0:.01:mt;

v=u*log(m0./(m0-mtt));

plot(v)

2. Выполнение работы (многоступенчатая ракета)

2.1. Что является объектом исследования?

Будем рассматривать ракету как и в первом случае, только ракета будет делится на несколько ступеней (каждая ступень содержит свою структурную массу и запас топлива и у всех коэффициент lambda=0.1). Каждая ступень после сжигания своего топлива будет отбрасываться от ракеты, и в ход пойдет новая ступень.

2.2. Модель многоступенчатой ракеты

2.2.1. Описание

1) Возьмем для определенности число ступеней равное 3.

m0=mp+m1+m2+m3

Когда израсходовано топливо первой ступени, масса ракеты равна

mp+lambda*m1+m2+m3

По формуле (3) получаем скорость ракеты после отработки первой ступени:

v1=u*ln(m0/(mp+lambda*m1+m2+m3))

Потом отбрасывается первая ступень, масса ракеты становится равна

mp+m2+m3

И так далее находим скорости v2 и v3:

v2=v1+u*ln((mp+m2+m3)/( mp+lambda*m2+m3))

v3=v2+u*ln((mp+m3)/(mp+lambda*m3))

2) Найдем идеальное соотношения m1 m2 и m3, чтобы достичь максимальной v3:

v3/u=ln((m0/(mp+lambda*m1+m2+m3))*((mp+m2+m3)/( mp+lambda*m2+m3))*

*((mp+m3)/(mp+lambda*m3))

Введем h1=m0/(mp+m2+m3)

h2=(mp+m2+m3)/(mp+m3)

h3=(mp+m3)/mp

Получим

v3/u=ln((h1/(1+lambda*(h1-1)))*(h2/(1+lambda*(h2-1)))*(h3/(1+lambda*(h3-1))))

Полученное уравнение симметрично по отношению к h1,h1,h3. Оно достигает максимум при h1=h2=h3=h.

h=(1-lambda)/(P-lambda), где P=exp(-v3/(3*u))

Оказывается

h^3=m0/mp.

Для ракет с n ступенями:

h^n=m0/mp, P=exp(-vn/(n*u)).

2.2.2. Достаточное отношение m0/mp для v=8км/с

1) Пусть у нас m0/mp=100. Посмотрим какую скорость мы можем развить с помощью 3-х ступенчатой ракеты.

m0=100;mp=1;lambda=0.1;u=3;

h=(m0/mp)^(1/3);

v=u*log((h/(1+lambda*(h-1)))^3)

v=11.0207

С помощью двухступенчатой: v=9.9644

С помощью четырехступенчатой: v=11.4665

С помощью пятиступенчатой: v=11.7036

2) Пусть нам нужно достичь 8км/с. Узнаем достаточное m0/mp для трехступенчатой ракеты:

v=8;lambda=0.1;u=3;

P=exp((-v)/(3*u));

koef=((1-lambda)/(P-lambda))^3

m0/mp=24.2090

Для двухступенчатой: m0/mp=30.2645

Для четырехступенчатой: m0/mp=22.4603

Для пятиступенчатой: m0/mp=21.6344

3. Вывод

Мы рассмотрели модель одноступенчатой ракеты и доказали, что с ее помощью невозможно развить скорость 8км/с. Однако, полученные результаты мы применили к модели многоступенчатой ракеты и оказалось возможным не только преодолеть 8км/с, мы еще и узнали, какое должно быть минимальное отношения m0/mp для достижения нужной скорости. Если рассматривать скорость 8км/с, то особого выигрыша в отношении m0/mp мы не получаем при увеличении ступеней (двух вполне достаточно).