Лабораторные работы - Выполненые / Студенты всех групп / LAB_05 / МП-35 / 16_Shtefan_05

Лабораторная работа №5

Моделирование проблем ракетостроения.

Задание:

1. Исследование одноступенчатой ракеты.

Задайте параметры: u - скорость истечения сгорающего топлива (3 км/с); m0 - масса ракеты на старте; mp - "полезная" нагрузка; lambda - коэффициент структурной массы (ms). Вычислите ms, mt - массу топлива. Задайте закон изменения массы топлива mtt в процессе полета.

Исследуйте скорость ракеты v в зависимости от Ваших параметров. Обоснуйте выбор параметров и зависимость уменьшения массы топлива.

Сделайте выводы из своего исследования и отчет.

2. Исследуйте полет многоступенчатой ракеты. Идеализированную модель опишите самостоятельно

Сделайте выводы из своего исследования и отчет.

1. Запишем без вывода формулу Циолковского, которая может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

В формуле:

V — конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;

I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

M1 — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).

M2 — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года.

Введем необходимые переменные:

u - скорость истечения сгорающего топлива (3 км/с); m0 - масса ракеты на старте; mp - "полезная" нагрузка; lambda - коэффициент структурной массы (ms).

Параметр

Рассмотрим при m_p = 100, u = 3 км/с, λ = 1/10 = 0,1.

Зададим закон изменения массы топлива mtt в процессе полета.

u=3000;

m0=2000;

mp=100;

lamda=0.1;

ms=lamda*(m0-mp)

mt=(1-lamda)*(m0-mp)

dmt=100;

t=0:floor(mt/dmt);

mtt=mt-dmt*t;

v=log(m0./(mtt+ms+mp))*u;

vmax=log(m0/(ms+mp))*u

plot(t,v,'b-');grid on

После вычислений получили:

ms = 190;

mt = 1710;

vmax = 5.7931e+003;

Получили график V(t)

Путём несложных преобразований формулы Циолковского получаем следующее уравнение:

(1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса. Введём следующие обозначения:

M₀ — масса полезного груза;

M_k — масса конструкции ракеты;

M_t — масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

(2)

где k — коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента k. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости большего размера и массы, что ведёт к снижению значения k).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

(3)

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента k.

Р

, иначе говоря,

(4)

азумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть знаменатель этой формулы:

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости V при заданных значениях удельного импульса I и коэффициента k. Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

2. Исследуем полёт многоступенчатой ракеты.

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введем обозначения:

M_1i — масса заправленной i-ой ступени ракеты;

M_2i — масса i-ой ступени без топлива;

I_i — удельный импульс двигателя i-ой ступени;

M₀ — масса полезной нагрузки;

N — число ступеней ракеты.

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

Рассмотрим пример расчёта массы ракеты.

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой M₀ = 10 т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс I = 2900 м/c. Коэффициент k = 9 — это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя.

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c, характеристическая скорость, таким образом, составит V = 8359,4 м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина e^V/I = 17,86. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Расчёт для двуступенчатой ракеты.

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты. V = 4179,7 м/c. На этот раз e^V/I = 4,23, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для 2-ой ступени получаем:

т

т

полная масса 2-ой ступени составляет 55,9 т.

Для 1-ой ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-ой ступени, и после соответствующей подстановки получаем:

т

т

полная масса 1-ой ступени составляет 368,1 т;

общая масса двуступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10 + 55,9 + 368,1 = 434 т.

Аналогичным образом выполняются расчёты для большего количества ступеней. В результате получаем:

Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т.

Четырёхступенчатой — 294,2 т.

Пятиступенчатой — 281 т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении — при той же конечной скорости ракета с большим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты k остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это — сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями — переходниками — несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента k, а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются на самом первом этапе проектирования — при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Проведём подобное моделирование многоступенчатой ракеты в Matlab.

Используем иерархию моделей:

m_p – полезная масса;

m_i – общая масса i-ой ступени;

λm_i – структурная масса i-ой ступени;

(1 - λ)m_i – масса топлива i-ой ступени;

n – количество ступеней.

n = 3. Ст. масса m₀ = m_p + m₁ + m₂ + m₃

1. Конец работы 1-ой ступени

2. Момент включения второй ступени

3. Конец работы второй ступени

Аналогично,

• 

Замена:

Тогда

Максимальное значение этой функции достигается при одинаковых значениях α, и оно равно:

Файл lab_05_2:

clear

clc

n=3;

mi=[285000,56000,43000];

mp=10000;

m0=sum(mi)+mp;

u=3000;

lamda=0.1;

dm=100;

vi0=0;

ti0=0;

ln=1;

subplot(1,2,1),hold on,grid on;

xlabel('T, s');

ylabel('V, m/s');

subplot(1,2,2),hold on,grid on;

xlabel('M, kg');

ylabel('V, m/s');

for i=1:n

alfa(i)=(mp+sum(mi(i:n)))/(mp+sum(mi(i+1:n)));

ln=ln*alfa(i)/(1+lamda*(alfa(i)-1));

lab_05_2_2;

end;

vmax=u*log(ln)

Файл lab_05_2_2:

m=sum(mi(i+1:n))+mp;

m0i=sum(mi(i:n))+mp;

ms=lamda*mi(i);

mt=(1-lamda)*mi(i);

t=0:ceil(mt/dm);

mtt=mt-dm*t;

v=u*log(m0i./(m+mtt+ms));

v(ceil(mt/dm)+1)=u*log(m0i/(m+ms));

t(ceil(mt/dm)+1)=mt/dm;

vi=vi0+u*log(m0i/(m+ms));

ti=mt/dm+ti0;

subplot(1,2,1);

plot(t+ti0,v+vi0,'r-');

plot(ti,vi,'r*');

subplot(1,2,2);

plot(m+mtt+ms,v+vi0,'r-');

plot(m+ms,vi,'r*');

ti0=ti;

vi0=vi;

В результате выполнения получили 2 графика

vmax = 8.9501e+003;

Можем сделать вывод, что для увеличения максимальной скорости корабля необходимо, чтобы начальная масса 1-ой ступени в разы превосходила массы других ступеней, а также массы полезного груза.

~ 9 ~