Лабораторная работа №6

Моделирование многоступенчатой ракеты

1. Постановка задачи:

Исследуйте модель запуска космической ракеты, как одноступенчатой, так и многоступенчатой. Оцените скорость ракеты в зависимости от скорости топлива и других параметров, в том числе, ступенчатости ракеты.

2. Объект исследования

Объектом исследования является полёт одно- и многоступенчатой ракеты. Интерес прежде всего представляет зависимость скорости ракеты от количества ступеней.

3. Модель

   1. Идеализация

Будем считать, что ракета работает по такому принципу: как только ракета стартует, топливо из топливных баков, находящихся в последней степени, сразу же начинает толкать ракету с постоянным импульсом. Топливо расходуется равномерно до того момента, пока оно не кончилось. Точно в этот момент отработавшая ступень отделяется и начинает работать двигатель в следующей ступени. Также в ракете находится постоянный груз, заданной массы, этот груз никак не влияет на движение ракеты. Пренебрегаем гравитацией, атмосферным воздействиям и другими несущественными вещами. Считаем, что ракета является точкой и скорость точки точно определяется.

2. Воплощение

Представим расположение иглы в пространстве с помощью двух чисел — y, расстояние от центра иглы до ближайшей параллельной прямой, и α — угол наклона к этой прямой. Таким образом, 0<=y<=a, 0<=α<=π.

Случайный бросок будем моделировать генерацией 2х случайных чисел в заданных пределах с помощью генератора псевдослучайных чисел, встроенного в Matlab. Несмотря на то, что возможно предугадать следующее число на выходе генератора, вероятности выпадения того или иного числа от 0 до 1 примерно равны.

4. Эксперимент для одноступенчатой ракеты

   1. Теория

Воспользуемся уравнением Мещерского для движения тел переменной массы .

• m — переменная масса тела;

• v — скорость движения тела переменной массы;

• F - внешние силы (сопротивление среды и т. п.);

• u1 — относительная скорость отделяющихся частиц;

• u2 — относительная скорость присоединяющихся частиц;

• - секундный расход массы;

• - секундный приход массы.

В нашем случае:

.

Интегрируем:

.

Введём обозначения:

• Mgood — масса полезного груза;

• Mstr — масса конструкции ракеты;

• Mfuel — масса топлива.

Логично, что чем больше масса топлива, тем больше масса конструкции ракеты, поэтому введём коэффициент k зависимости массы конструкции от массы топлива:

.

Благодаря такой константе, можно найти, какую максимальную скорость может развить ракеты, ведь увеличивать структурную массу ракеты невозможно до бесконечности:

Очевидно, что масса топлива должна быть больше ноля:

.

Так можно определить, какую максимальную скорость сможет развить ракета с заданным коэффициентом k (зависимость массы конструкции от массы топлива)

Для моделирования запуска ракеты перепишем формулу скорости со всеми переменными:

.

Или проще:

.

Проведём 2 эксперимента: найдём зависимость скорости ракеты от коэффициента k и веса топлива.

2. Код

Зависимость максимальной скорости ракеты от коэффициента k:

U=2900; %м/с

mgood=10000; %кг

k=1/0.1; % масса конструкции 10% массы топлива

mfuel=60000;

%mfuel=(MASS-mgood)/((1+1/k)*steps);

maxsteps=200; %кол-во итераций = mfuel/100

Vmax=zeros(1,maxsteps);

for i=1:maxsteps;

%k=1/0.1

k=i%;1-1/i+(1/maxsteps);

Vmax(i)=U*log(1/(1-mfuel/(mgood+mfuel*(1+1/k))));

end;

x=(1/maxsteps):(1/maxsteps):1;

plot(x,Vmax);

3. Результат

Зависимость максимальной скорости ракеты от веса топлива (кг).

Зависимость максимальной скорости ракеты от коэффициента k

Теория

5. Эксперимент для многоступенчатой ракеты

   1. План

Очевидно, что при запуске многоступенчатой ракеты, ступень отсоединяется, когда в ней кончится топливо. При этом максимальная скорость предыдущей ступени становится стартовой для текущей. Благодаря этим свойствам, можно записать уравнение скорости для i-й ступени (всего N степеней):

Для последней, N-й ступени можно записать эту формулу в виде суммы:

.

Помня, что .

Можно преобразовать скорости, оставив зависимости лишь от скорости груза, массы топлива и импульса топлива.

2. Код

U=2900; %м/с

mgood=10000; %кг

k=1/0.1; % масса конструкции 10% массы топлива

mfuel=60000; %масса топлива, кг

mv=10; % кг/c

t=1:100000; %время измерений (секунды)

steps=6; %кол-во ступеней

mfuels=[mfuel mfuel mfuel mfuel mfuel mfuel mfuel mfuel]; %топливо для i-й ступени

colors=['b','r','g','b','r','g']; %цвет графика iй ступени

startt=1;

lastV(1)=0;

Vmax=zeros(1,steps);

m0=zeros(1,steps);

lastV=zeros(1,steps);

for i=1:steps

if i>1

startt=fint+1;

end;

allfuel=sum(mfuels(i:steps));

allstruct=allfuel/k;

nextfuel=allfuel-mfuels(i);

m0(i)=mgood + allfuel + allstruct;

mt=mfuels(i)-t*mv; %mfuels(i)..0;

t1=t(mt>0);

fint=startt+max(t1);

mt=mt(1:fint-startt+1);

Vt=lastV(i)+U*log(m0(i)./(m0(i)-mfuels(i)+mt));

lastV(i+1)=max(Vt);

Vmax(i)=U*log(1/(1-mfuels(i)/(mgood+sum(mfuels(i:steps))*(1+1/k))));

if i>1

Vmax(i)=Vmax(i)+Vmax(i-1)

end

plot(t(startt:fint),Vt,colors(i))

hold on;

end;

lastV

m0

Vmax

hold off

6. Результат

   1. Зависимость максимальной скорости от кол-ва ступеней

Обозначения

• m0 - масса ракеты при подключении i-й ступени (тонн)

• Vmax - максимальная скорость ко времени отсоединения i-й ступени (м/c)

1 ступень

m0 = 76

Vmax = 4518

2 ступени

Vmax= 1 592 6 111

m0 = 14 76

3 ступени

m0 = 208 142 76

Vmax =9869 2579 7098

4 ступени

m0 = 274 208 142 76

Vmax = 716 1703 3296 7814

5 ступеней

m0 = 340 274 208 142 76

Vmax = 563 1279 2266 3859 8377

6 ступеней

m0 = 406 340 274 208 142 76

Vmax =463 1026 1743 2730 4322 8841

2. Зависимость максимальной скорости при заданной максимальной массе ракеты

Код

U=2900; %м/с

MASS=400000; % Максимальная масса ракеты

mgood=10000; %кг

k=1/0.1; % масса конструкции 10% массы топлива

mv=10; % кг/c

t=1:100000; %время измерений (секунды)

colors=['b','r','g','b','r','g']; %цвет графика iй ступени

maxstep=20;

y=zeros(1,maxstep);

for j=1:maxstep

steps=j; %кол-во ступеней

%mfuel=60000; %масса топлива, кг

mfuel=(MASS-mgood)/((1+1/k)*steps);

Vmax=zeros(1,steps);

for i=1:steps

Vmax(i)=U*log(1/(1-(mfuel)/(mgood+mfuel*(steps-i+1)*(1+1/k))));

if i>1

Vmax(i)=Vmax(i)+Vmax(i-1);

end

end;

y(j)=Vmax(steps);

end;

x=(1:maxstep);

plot(x,y,'r');

hold off

Результаты

MASS = 400 тонн

Зависимость максимальной скорости от кол-ва ступеней:

MASS = 800 тонн

Итоги

Эксперимент с запуском ракеты показал много интересных вещей, например, несущественную разницу между трёх- и четырёхступенчатой ракетой, возможность резко увеличить скорость ракеты за счёт уменьшения структурной массы, а также невозможность достаточно сильно увеличить скорость лишь за счёт увеличения количества несомого топлива.