Учебный модуль 2. Дифференциальное исчисление . Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной лекция 7. Определение производной. Правила дифференцирования.

Пусть задана некоторая функция y = f (x). Выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х₁. Обозначим за х разность между двумя значениями аргумента х = х₁ – х, (т.е х₁ = х +х).

Замечание. х может быть как больше нуля, если х₁ > х, так и меньше нуля, если х₁ < х.

Вычислим значения функции в этих точках y = f(x) и y₁₌ f(x₁).

Приращением функции f (x) называется разность между двумя значениями функции f(x) = f(x₁) - f(x) = y_{1 –} y или f(x) = f(х + x) – f(x).

Если при х 0 существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от функции f(x) в точке х и обозначается

(7.1)

Производная - это функция от того же аргумента, что и f(x). Операцию вычисления производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f(x), отметить точки х и х₁ = х + х , то МС = х, NC = f(x). Величина отношения

(7.2)

равна тангенсу угла наклона секущей MN к оси абсцисс (см. рис.7.1).

Если х  0, то точка N стремится по графику функции к точке M, секущая MN стремится занять положение касательной МК к графику функции f(x) в точке M, угол наклона секущей α стремится к углу наклона касательной φ. Сравнивая формулы (7.1) и (7.2) мы можем сказать, что значение производной f (x) в точке х равно тангенсу угла наклона касательной к графику y = f(x) в точке М с координатами (х, f(x)).

Уравнение касательной в точке М

,

уравнение нормали

,

Рис. 7.1. Геометрический смысл производной

В механике производная от пути по времени есть скорость

Правила дифференцирования.

Производная постоянной С равна нулю

( C )` = 0 (7.3)

Производная линейной комбинации функций f₁ (x) и f₂ (x)

у(х) = с₁f₁(x)+c₂f₂(x), (7.4)

где с₁ и c₂ произвольные постоянные, равна линейной комбинации производных

у (x) = (с₁f₁(x)+c₂f₂(x)) = с₁f₁ (x)+c₂f₂ (x). (7.5)

Действительно, вычислим приращение функции у(x).

Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х₁. Вычислим соответствующие значения функции у (x₁) и у (x) и найдем ее приращение.

у(x) = у(x₁) - у(x) = (с₁ f₁ (x₁) + с₂ f₂ (x₁)) - (с₁ f₁ (x) + с₂ f₂ (x))

Сгруппируем отдельно слагаемые содержащие f₁ (x) и f₂ (x) и вынесем за скобки константы с₁ и с₂. Выделим приращения функций f₁ (x) и f₂ (x)

у(x) = (с₁ f₁ (x₁) - с₁ f₁ (x) ) + (с₂ f₂ (x₁) - с₂ f₂ (x)) = с₁( f₁ (x₁) - f₁ (x) ) + с₂ (f₂ (x₁) - f₂ (x) )=

= с₁  f₁ (x) + с₂ f₂ (x₁) . (7.6)

Подставим приращение функции у(x) (7.6) в формулу (1.1) (определение производной) и учтем правила вычисления пределов:

предел суммы равен сумме пределов,

постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Тогда

Следствие. Постоянный множитель С можно вынести за знак производной

(С у (x)) = С у (x).

Производная произведения функций у (x) = f(x) g(x) вычисляется по правилу: произведение производной от первой функции на неизменную вторую плюс произведение производной от второй функции на неизменную первую

у (x)’ = (f(x)g(x)) = f (x) ּg(x) + f(x) ּg (x). (7.7)

Правило можно обобщить на случай производной произведения n функций

(f₁(x) f₂(x) .. …. … f_n(x)) =

= f₁(x) f₂(x) …. f_n(x)+ f₁(x) f₂(x) …. f_n(x)+….+ f₁(x) f₂(x) ….. f_n(x)

Производная частного двух функций у (x) = f(x)/g(x) вычисляется по правилу

(7.8)

Таблица производных основных элементарных функций

Производная степенной функции	Производная степенной функции
Производная экспоненциальной функции	Производная экспоненты
Производная сложной экспоненциальной функции	Производная экспоненциальной функции
Производная логарифмической функции	Производная натурального логарифма
	Производная натурального логарифма функции
Производная синуса	Производная косинуса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная арксинуса	Производная арккосинуса
Производная тангенса	Производная котангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса
Производная арктангенса	Производная арккотангенса

Пример.

1. (6 sin x - 2 ln x) = (6 sin x) - (2 ln x) = 6 (sin x) - 2 (ln x) = 6 cos x -

2. (lnx∙cosx)' = ∙cosx - lnx∙sinx.

3.