Учебный модуль 2. Дифференциальное исчисление.

Тема 4. Введение в математический анализ. Теория пределов.

ЛЕКЦИЯ 6. Введение в анализ функции одного переменного.

Пусть даны два числовые множества X и Y с элементами x и y соответственно X={x}, Y={y}. Мы говорим, что задана функция, если каждому числу x из множества Х по определенному закону сопоставлено число у из множества Y. Запись

y = f (x). (6.1)

Множество Х называется областью определения функции (обозначается D(f)), множество Y – областью изменения. Если каждому х сопоставлено единственное у, то мы говорим, что функция однозначна, если каждому х сопоставляется несколько у, то функция называется многозначной.

Если каждому у по определенному закону сопоставлено число х, то мы говорим, что задана обратная функция

x = f ^-1 (y). (6.2)

Для обратной функции множество Y является областью определения функции, а множество Х – областью изменения.

Основными способами задания функции являются:

1. аналитический, когда функция задается при помощи математических знаков и их комбинаций, например

y = sin(x);

2. графический, когда функция задается с помощью графика, например рис.6.1.

Рис.6.1. Графический способ задания функции.

3. табличный, когда функция задается таблицей или списками пар, например (1,2); (2,5) (4,2)…. При такой записи первое число это х, а второе у.

Если область определения функции симметрична относительно оси Y, то можно ввести понятия четности и нечетности функции. Четной называется функция удовлетворяющая условию

f (-x) = f (x). (6.3)

График такой функции симметричен относительно оси Y. К четным функциям относятся, например, y = cos (x).

Нечетной называется функция удовлетворяющая условию

f (-x) = - f(x). (6.4)

График такой функции симметричен относительно начала координат. К нечетным функциям относятся, например, y = sin(x).

Если функция не является четной или нечетной, то говорят что она общего вида.

Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е.

возрастающая функция

и

убывающая функция.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Число х₀ называется корнем функции, если

f (x₀) = 0.

Например, lg (x) = 0 при х₀ = 1.

Если функция задана на всей оси, т.е. область определения функции , то периодом функции называется наименьшее из чисел Т, удовлетворяющее условию

f (x + Т) = f(x) = f (x - Т). (6.5)

Пример 1. Найти область определения функции

Решение. Если числовая функция задана аналитически и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение - действительное число. Для существования заданной функции необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции или .

Пример 2. Определить, являются четными или нечетными функции

1. ;

2. 2. ;

3.

Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений:

1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т.е. если , то и ;

2. Выполняются ли равенства или . При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.

Для указанных в задаче функций:

1. ,

то есть функция - нечетная;

2. ,

то есть функция является четной;

3. ,

следовательно, функция есть функция общего вида.

Пример 3. Найти период функции .

Решение.

Так как , то период Т=1.

Определение предела функции. Определение бесконечно малой и бесконечно большой величины.

-окрестностью точки A называется отрезок (A-, A+). Аналогично δ - окрестностью точки х₀ называется отрезок (х₀ - δ, х₀ + δ).