Механикалық тербелістердің теңдеулері мен шешімдері
Өшетін механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеуі және оның шешімі. Кез-келген тербеліс сыртқы ортаның кедергісінің салдарынан өшеді. Ортаның кедері күші
(1.35)
болсын,
-кедергілік
коэффиценті.
Серпімділік күші
Сонда Ньютонның екінші заңы бойынша
немесе
;
;
десек, онда
(1.36)
өшетін тербелістердің дифференциалдық теңдеуі шығады, мұндағы –өшу коэффиценті.
Бұл теңдеудің шешуін
(1.37)
түрінде іздейміз.
-тің
уақыт
бойынша туындылары
(1.38)
(1.39)
(1.36), (1.37), (1.38) формулаларын (1.39) формуласына қойып
Бұл
теңдеу нөлге тең болу үшін
және
алдындағы коэффиценттер қосындысы
нөлге тең болуы керек.
алдындағы коэффицент қосындысы
немесе
(1.40) алдындағы коэффиценттер қосындысы
бұдан
,
немесе
бұл өрнекті интегралдап
немесе
,
(1.41)
деп
жазамыз.
өшетін тербеліс амплитудасы,
-тербелістің
алғашқы амплитудасы. (1.41)-ді ескеріп
(1.36) теңдеудің шешуі болатын (1.37) формуласын
жазамыз
(1.42)
Бұл теңдеудің графигі 6-суретте көрсетілген (үзік сызықтармен (1.41) формуласының, ал қалың сызықпен (1.42) формуласының уақытқа байланыстылығы). Уақыт жағынан айырмасы периодқа тең тетелес келген екі тербеліс амплитудасының қатынасы
өшудің декременті делінеді, ал оның логарифмі өшудің логарифмдік декременті делінеді
(1.43)
одан
туындысы алынса
болады.
Онда (1.36) теңдеуді мына түрде жазуға болады
немесе
,
бұл өрнектегі
6-сурет
Өшетін тербелістердің тербеліс периоды
(1.44)
Еріксіз механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеуі және оның шешімі. Іс жүзінде тербелуші жүйеге энергия беріліп отырмаса, онда кез-келген тербеліс өшеді. Өйткені ортаның кедергісін жоюға энергия жұмсалады. Осы жұмсалған энергияны толтырып отырса, өшпейтін тербеліс алуға болады.
Өшпейтін тербелісті алудың ең оңай тәсілі тербелуші денеге периодты сыртқы күшпен әсер ету. Сыртқы периоды күштің әсерінен жасалатын тербелістер еріксіз тербелістер деп аталады.
Материялық нүктеге серпімділік күші, кедергі күші және периодты мәжбүр етуші күштер әсер еткендегі тербелістерді қарастырайық. Онда қозғалыс заңы мына түрде жазылады
(1.45)
мұндағы
-серпімділік
күші;
-ортаның
кедергі күші;
-мәжбүр
етуші күш.
,
,
деп белгілеулер арқылы (1.45) формуланы
мына түрде жазамыз
(1.46)
Бұл теңдеудің шешімі
(1.47)
Бірінші туындысы
(1.48)
Екінші туындысы
(1.49)
болады.
(1.47), (1.48), (1.49) формулаларын (1.46) формуласына қойса
Тригонометриялық
функциялардың аргументтерін ашып
жазғанда
Бұл
теңдеу теңдікке айналу үшін екі жағындағы
және
алдындағы коэффиценттері тең болу
керек. Сонда
алдындағы коэффициенттер үшін
алдындағы коэффиценттер үшін
деп жазамыз, немесе
(1.50)
Бұл теңдеулерді квадраттап қоссақ
бұдан
(1.51)
Еріксіз тербелістің амплитудасы анықталады.
(7.6) формуласының екінші теңдеуінен еріксіз тербелістің фазасы анықталады
(1.52)
Денеге мәжбүр етуші күш әсер ете бастағанда, алғашқыда тербеліс амплитудасы арта бастайды да, біраздан кейін тұрақталады (7-сурет).
Тepбeліс
тұрақтылығы
7-сурет
Бұл уақытта тербеліс амплитудасы (1.50) формуламен анықталады. Еріксіз тербеліс амплитудасы мәжбүр етуші күш жиілігіне байланысты болады.
Тербеліс жиілігі белгілі бір шамаға жеткенде амплитудасы да ең үлкен шамаға жетеді. (1.51) формуланың түбір астындағы шамасының туындысын нөлге теңестіріп, осы жиілікті анықтауға болады. Бұл жиілікті резонанстық жиілік делінеді.
бұдан
(1.53)
болып шығады.
Резонанстық амплитуданы анықтау үшін (1.51) формулаға (1.52)
формуланы қойсақ
(1.54)
болады.
8-сурет
Еріксіз
тербеліс амплитудасының мәжбүр етуші
күш жиілігмен байланыстылығы (әр түрлі
,
,
...
үшін 8-
суретте көрсетілген).
Бұл
суреттен өшу коэффиценті
кіші болған сайын амплитуда максимумы
сүйірленіп үлкейе беретіні көрінеді.
Қисық сызықтарды резонанстық қисықтар
деп атайды.