§ 5. Метод Гаусса

Рассмотрим метод решения систем с действительными коэффициентами, метод последовательного исключения неизвестных, т.е. метод Гаусса.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений

(1).

Положим для определенности, что коэффициент .

Преобразуем теперь систему (1), исключая неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число , вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и так далее.

Мы придём этим путём к новой системе из линейных уравнений с неизвестными: (2).

Как мы знаем, система уравнений (2) эквивалентна (1). Будем преобразовывать теперь систему (2). При этом первое уравнение мы не будем больше трогать совсем и подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть системы (2), состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом мы считаем, конечно, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю – такие уравнения мы отбросили бы, если бы и их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мы уже доказали бы несовместимость нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличные от нуля; для определённости примем . Преобразуем теперь систему (2), вычитая из обеих частей третьего и каждого из следующих уравнений обе части второго уравнения, умноженные соответственно на числа . Этим будет исключено неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго, и мы придём к следующей системе уравнений, эквивалентной системе (2), а поэтому и системе (1): .

Наша система содержит уравнений, , так как некоторые уравнения могли оказаться отброшенными. Понятно, что число уравнений системы могло уменьшиться уже после исключения неизвестного . В дальнейшем подлежит преобразованиям лишь часть полученной системы, содержащая все уравнения, кроме двух первых.

Если при выполнении преобразований мы не получили ни одного уравнения вида , , при наличии которого система получается несовместной, то мы получим следующую систему уравнений, эквивалентную системе (1):

(3) .

В этом случае система (1) совместна. Она будет определённой при и неопределённой при .

Действительно, если , то система (3) имеет вид:

.

Из последнего уравнения мы получаем вполне определённое значение для неизвестного . Подставляя его в предпоследнее уравнение, мы найдём однозначное определённое значение для неизвестного . Продолжая так далее, мы найдём однозначно значение для всех переменных. Таким образом, система (4), а значит и система (1) обладают единственным решением, т.е. совместны и определённы.

Если же , то первые неизвестных мы возьмём за «главные» неизвестные, а оставшиеся неизвестные – за «свободные». Для «свободных» неизвестных мы возьмем произвольные числовые значения, после чего, двигаясь по системе (4) снизу вверх, мы, как и выше, найдём для неизвестных вполне определённые значения. Так как значения для свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом различных способов, то наша система (3) и, следовательно, система (1), будут совместными, но неопределёнными. Легко проверит, что указанным здесь методом (при всевозможных выборах значений для свободных неизвестных) будут найдены все решения системы (1).

Замечание: При практическом решении систем линейных уравнений методом Гаусса все элементарные преобразования выполняются не над самой системой, а над её расширенной матрицей, составленной из коэффициентов и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов отделён вертикальной чертой.

Пример : .

,

Пример : .

Пример: .

Выберем за главные переменные и . Перепишем систему так, чтобы главные переменные остались с левой стороны, а остальные перенесем вправо. Получим систему:

, из этой системы получаем: .

Следовательно решением системы является множество векторов вида:

.

Ответ: