§ 4. Система линейных уравнений

Определение 1: Системой линейных уравнений над полем с переменными называется система вида

, где .

Эту систему линейных уравнений будем кратко записывать в виде

(1) .

Допустимыми значениями свободных переменных системы линейных уравнений (1) всюду в дальнейшем считаем элементы поля .

Определение 2: Вектор из называется решением системы уравнений (1), если верны равенства .

Определение 3: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Системы линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если решений больше, чем одно.

Наряду с системой (1) рассмотрим систему (над )

(2) .

Отметим, что система линейных уравнений может состоять из одного уравнения.

Определение 4: Система уравнений (2) называется следствием системы уравнений (1), если каждое решение системы (1) является также решением системы (2).

Запись (1) (2) означает, что система (2) есть следствие системы (1).

Определение 5: Линейное уравнение

, где - произвольные числа, называется линейной комбинацией уравнений системы (1) с коэффициентами .

Предложение 1: Любая линейная комбинация линейных уравнений системы уравнений (1) является следствием этой системы.

Докажите самостоятельно.

Определение 6: Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.

Предложение 2: Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда каждая из этих систем является следствием другой системы.

Предложение 3: Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда множество всех решений одной системы совпадает с множеством всех решений другой системы.

Определение 7: Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

а) умножение обеих частей какого – нибудь уравнения системы на отличный от нуля скаляр;

б) прибавление (вычитание) к обеим частям какого – либо уравнения системы, соответствующих частей другого уравнения системы, умноженных на скаляр;

в) исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом: .

Теорема 1: Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы равносильны.

Доказательство: Пусть дана система

(1) .

Если умножить одно из её уравнений, например первое, на отличный от нуля скаляр , то получим систему

(2) .

Каждое решение системы (1) есть также решение (2). Обратно: если - любое решение системы (2), т.е.

,

то, умножив первое равенство на и не изменяя последующие равенства, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1).

Т.к. отношение равносильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).

Также легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования а) или б) приводит к системе, равносильной исходной системе (1) (проверить самостоятельно).

Следствие 1: Если к одному из уравнений системы линейных уравнений прибавить линейную комбинацию других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной.

Следствие 2: Если исключить из системы линейных уравнений или присоединить к ней уравнение, являющееся линейной комбинацией других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной системе.

Докажите самостоятельно.

Если в ходе преобразований в системе появятся уравнение , где , то этому уравнению не удовлетворяет ни один вектор , поэтому система несовместна.