§ 3. Операции над матрицами и их свойства

Всюду далее есть фиксированное поле, которое будем называть полем скаляров. Элементы множества будем называть скалярами.

Определение 1: Две матрицы одного порядка называются равными, если у них все соответствующие элементы равны и пишут . То есть, если A= , B= размера ,то при условии, что для любых индексов .

Определение 2: Матрица называется нулевой и обозначается O , если все ее элементы равны нулю.

Определение 3: Суммой двух - матриц и называется - матрица,

- й элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц, т.е.

.

Определение 4: Произведением скаляра  на матрицу называется

- матрица, каждый элемент которой умножается на . Обозначается она как . Т.е. .

Для матрицы выполняется равенство . Поэтому матрицу обозначают также через и называют противоположной матрице .

Пусть дана матрица размера и матрица размера :

, .

Таким образом, мы предполагаем, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Произведение строки на столбец определяется так:

.

То есть, произведением строки матрицы A на столбец матрицы B называется сумма произведений соответствующих элементов.

Определение 5: Чтобы перемножить две матрицы надо каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матрицы.

Произведением матриц и является -матрица, -й элемент которой равен , т.е .

Итак, если есть - матрица и есть - матрица, то является

- матрицей.

Теорема 1: Умножение матриц ассоциативно, т.е. для любых матриц , если произведения и существуют.

Доказательство: По условию, произведения и существуют. Поэтому можно считать, что , , матрицы размеров соответственно. Следовательно, произведения и существуют и имеют размерность . Пусть , и , - элементы матриц и соответственно. Докажем, что = для любых индексов и . В самом деле,

,

.

Следовательно, для любых индексов и , т.е. .

Теорема 2: Операции над матрицами обладают следующими свойствами:

1. Алгебра матриц - есть абелева группа;

2. ;

3. ( ;

4. ;

5. ;

6. Умножение матриц ассоциативно;

7. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е. , если произведение и сумма существуют, и , если произведение и сумма существуют;

8. Для любого скаляра и любых матриц , если произведение существует.

Доказательство:

2. .

7. Пусть , , . Легко проверить . Отсюда следует, что и суть - матрицы. Покажем, что -е элементы этих матриц равны, т.е. . В самом деле, ; .Следовательно, = . Аналогично доказывается, что , если и существуют.

Определение 6: Матрицы и называются перестановочными, если .