Понятие сопряженных комплексных чисел

Определение 2: Пары (а, b ) и (а, -b) называются сопряженными.

Умножив сопряженные пары , получим, что их произведение равно неотрицательному числу , которое равно нулю только если а = 0, b= 0, т.е. если (а,b) = 0.

Перейдем к обычной записи комплексных чисел. Ясно, что , где буквой обозначена пара (0,1) и для которой из аксиомы III следует, что

В дальнейшем, говоря о комплексных числах, мы должны помнить, что действительные числа мы рассматриваем как частный случай комплексных чисел, так что фраза « - есть комплексное число» отнюдь не исключает, что может быть и действительным.

Теорема 1: Пусть и - комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число такое, что , именно,

Доказательство: , тогда - удовлетворяет поставленному требованию. Обратно, если , то откуда , т.е. всякое число, отличное от , не удовлетворяет поставленному требованию. Число есть, таким образом, разность чисел и . Она обозначается обычным образом: .

Теорема 2: Пусть и - данные комплексного числа, причем . Тогда существует одно и только одно комплексное число такое, что , именно, .

Доказательство: Если , то . Если , то , , что требовалось доказать. Число есть, таким образом, частное от деления на . Частное обычно записывается в форме дроби . Вычисление может быть представлено в виде , где - сопряженное число.

§ 2 Тригонометрическая форма комплексного числа Геометрическое изображение

Комплексное число естественно изобразить точкой на плоскости, приняв число и b за координаты точки, изображающей число . При этом каждому комплексному числу соответствует точка, и каждой точке плоскости соответствует некоторое комплексное число. Действительные числа изображают точками на оси абсцисс. На оси ординат расположены изображения «чисто мнимых» чисел . Началу координат соответствует число 0.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексной переменной. Её ось абсцисс называется вещественной осью, ось ординат – мнимой осью.

Наряду с изображением комплексного числа точками на плоскости, удобно с каждым числом связывать вектор, исходящий из начала координат в точку изображающую это число. Поэтому действия сложения комплексных чисел и умножение комплексных чисел на действительное число могут иметь геометрическую интерпретацию.

Модуль и аргумент комплексного числа

Введем в рассмотрение полярные координаты точки, изображающей комплексное число , принимая начало координат за полюс и действительную ось за полярную ось. Как известно, полярными координатами точки являются длина ее радиус-вектора, равная расстоянию от точки до полюса, и величина ее полярного угла, образованного положительным направлением полярной оси и радиус-вектором рассматриваемой точки.

у

х

Длина радиус-вектора точки, изображающей комплексное число , называется модулем этого числа и обозначается . Ясно, что , причем , только если = 0. Величина полярного угла точки, изображающей комплексное число , называется аргументом этого числа и обозначается . Заметим, что имеет смысл лишь при , аргумент числа 0 смысла не имеет.

Положительным направлением отсчета аргумента комплексного числа считается направление от положительной полуоси действительной оси к положительной полуоси мнимой оси, т.е. против часовой стрелки при обычном расположении осей.

Аргумент комплексного числа определен не однозначно, т.к. угол между двумя направлениями можно отсчитывать многими способами: , где - целое число.

Впредь, говоря об аргументе комплексного числа, мы будем подразумевать какое-либо его значение, безразлично какое.