§ 7. Правило Крамера

Рассмотрим систему (4) n линейных уравнений с n неизвестными. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы (4); его называют определителем системы. Покажем, как при помощи теоремы 1 и теоремы 2 можно решить при систему уравнений

(4) .

Перейдём к матричной записи системы (4): (5), где , , .

Если , то существует обратная матрица . Покажем, что матрица - единственное решение системы (4). Действительно,

,

т.е. - решение уравнения (5), а значит и системы (4).

Если - какое – то решение уравнения (5), то . Тогда .

Следовательно, матрица - единственное решение уравнения (5) и системы (4).

Наряду с определителем рассмотрим определители , где получается из заменой - го столбца столбцом из свободных членов: . Раскладывая определитель , , по - му столбцу, получаем:

. Выясним, как же выглядит матрица . Так как , тогда

.

Тогда . Эти формулы называют формулами Крамера.

Таким образом, мы доказали теорему:

Теорема: Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от 0, то система имеет единственное решение, выражаемое формулами: .