§ 6. Обратная матрица

Определение 1: Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или неособенной), если ее определитель отличен от нуля.

Произведение матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, вновь вырожденная матрица.

Роль единицы в умножении матриц играет единичная матрица , причем она перестановочная с любой матрицей данного порядка, (доказывается это равенство непосредственным применением правила умножения матриц).

Рассмотрим вопрос о существовании для данной матрицы обратной матрицы. Ввиду некоммутативности умножения матриц, мы будем говорить о правой обратной матрице, т.е. о такой матрице , что произведение матрицы справа на эту матрицу дает единичную матрицу

(1).

Если матрица вырожденная, то если бы матрица существовала, произведение, стоящее в правой части равенства (2), было бы, как мы знаем, вырожденной матрицей, в то время как на самом деле матрица , стоящая в правой части этого равенства, является невырожденной, т.к. ее определитель равен единице. Таки образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной матрицы. Такие же соображения показывают, что она не имеет и левой обратной и поэтому для вырожденной матрицы обратная матрица вообще не существует.

Рассмотрим случай с невырожденной матрицей; для этого введем следующие вспомогательные понятия. Пусть дана матрица -го порядка

и .

Матрица составлена из алгебраических дополнений к элементам матрицы , причем алгебраическое дополнение к элементу стоит на пересечении -й строки и -го столбца. Эту матрицу назовем присоединенной матрицей к матрице .

Найдем произведения и . Используя известную теорему о разложении определителя по строке или столбцу, а также теорему о сумме произведений элементов любой строки или столбца на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки или столбца и обозначая через определитель матрицы .

, мы получим:

(2).

Отсюда вытекает, что если матрица невырожденная, то ее присоединенная матрица также будет невырожденной, причем определитель матрицы равен -й степени определителя матрицы . В самом деле, из равенства (2), если перейдем к определителям, то получим: , откуда ввиду .

Теперь легко доказать существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы и найти ее вид. Заметим сначала, что если мы рассмотрим произведение двух матриц и все элементы одного из множителей, например , разделим на одно и то же число , то все элементы произведения также разделятся на это число: для доказательства нужно лишь вспомнить определение умножения матриц. Таким образом, если , то из равенства (2) вытекает, что обратной для матрицы будет служить матрица, получающаяся из присоединенной матрицы делением всех ее элементов на число :