§ 4. Миноры и алгебраические дополнения

Определение 1: Минором элемента определителя

называется такой новый определитель, который получается из вычеркиванием строки и столбцы, проходящих через данный элемент.

Пример: Найдем минор М₂₃ элемента определителя

; .

Определение 2: Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком , где i+j это сумма номеров вычеркнутых строки и столбца, т.е. .

Пример: Найдем алгебраическое дополнение элемента определителя предыдущего примера; .

Теорема 1: Каждый член произведения элемента определителя n –го порядка на его алгебраическое дополнение есть также член определителя и притом с тем же самым знаком, что и в произведении .

Теорему примем без доказательства.

Теорема 2: Если в определителе п–го порядка все элементы -й строки ( -го столбца), кроме , равны нулю, то такой определитель равен произведению элемента на алгебраическое дополнение этого элемента.

Доказательство: Действительно, если в определителе все элементы -й строки равны нулю, кроме , то все члены определителя, кроме членов вида равны нулю. А эти члены входят в . Обратно, согласно т.1 каждый член произведения входит в определитель и притом с тем же самым знаком. Следовательно, = .

Только что доказанная теорема 2 имеет большее практическое значение. Ее практическое значение заключается в том, что, получая на основании свойства 7 определителя (§ 3) нули в какой–нибудь строке или столбце определителя n –го порядка и применяя затем теорему 2, мы переходим к определителю низшего, (n –1) – го порядка. В свою очередь определитель (n – 1) –го порядка можно свести к определителю (n – 2) –го порядка и так далее, пока не придем к определителю третьего или даже второго порядка.

Пример: Вычислить определитель

Итак .

§ 5. Разложение определителей по элементам строки и столбца.

Рассмотрим, какую роль играют определители n–го порядка в решении системы n линейных уравнений с n неизвестными и вычислении обратной матрицы. Предварительно докажем следующие две теоремы.

Теорема 1: Какую бы строку (столбец) определителя n–го порядка мы ни взяли, определитель всегда равен сумме произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Иными словами, имеет место такое разложение определителя по элементам строки или столбца:

(1) или

(2).

Доказательство: В силу свойства равноправности строк и столбцов можно ограничиться выводом разложения (1). По свойству 6, (§ 3)

по теореме 2 (из предыдущего параграфа). Что и требовалось доказать.

Пример:

Теорема 2: Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю.

Иными словами: ,

.

Кроме данного определителя рассмотрим вспомогательный , у которого -я и -я строки одинаковы, а все строки, за исключением -й и -й, совпадают с соответствующими строками определителя .

Он по свойству 3 из § 3 равен 0, с другой стороны, разлагая по элементам - й строки, получим: (3) ,

где - алгебраические дополнения элементов -й строки определителя . При составлении алгебраического дополнения мы вычеркиваем в -ю строку (и -й столбец), т.е. вычеркиваем единственную строку, отличающую от .Следовательно, , где - алгебраическое дополнение элемента -й строки определителя . Таким образом, равенство (3) принимает следующий окончательный вид:

Справедливость теоремы для столбцов очевидна в силу свойства равноправности строк и столбцов.