§ 2. Определители

Определение 1: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется её порядком. Диагональ, образованная элементами , называется главной диагональю.

Определение 2: Определителем (или детерминантом) n–го порядка квадратной матрицы А называется алгебраическая сумма всевозможных членов, представляющих собой произведение n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком, совпадающим со знаком подстановки образованной индексами элементов.

Если

,

то ее определитель обозначается

.

Примеры: Если , то и . Если , то , .

Если , то .

Предложение 1: Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали.

Предложение 2: Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы, расположенные выше (ниже) главной диагонали.

Предложение 3: Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

§ 3 Свойства определителей

1. Значение определителя порядка не изменится, если его строки заменить столбцами, сохраняя порядок следования.

Операция замены в определителе строк столбцами с сохранением порядка следования называется транспонированием определителя. Таким образом, в свойстве 1 утверждается, что от транспонирования значение определителя не изменится.

Доказательство: Нам надо показать, что определители

равны.

Пусть (1) – произвольный член определителя . Очевидно, что элементы члена (1) будут также находиться по одному и только по одному в каждой строке и каждом столбце определителя . Следовательно, (1) есть вместе с тем и член определителя . Аналогично, каждый член определителя является членом и определителя . Далее, если снова (1) – член определителя , то этот член входит в определитель со знаком , где - число инверсий в строках подстановки . В определителе знак члена (1) совпадает со знаком подстановки . Но . Откуда следует, что .

Это свойство иногда называют свойством равноправности строк и столбцов определителя.

2. Определитель n–го порядка, у которого две строки (два столбца) одинаковы, равен нулю.

Доказательство: Пусть у определителя n–го порядка одинаковы -я и -я строки:

, .

Возьмем произвольный член определителя

(2).

Знак этого члена равен (-1)^t, где t – число инверсий в подстановке . Наряду с членом (2) рассмотрим член (4)

того же определителя. Член (3) равен члену (2), так как в силу совпадения -я и -я строк .

Однако член (3) входит в определитель со знаком, противоположным знаку члена (2). Действительно, знак члена (4) равен , где - число инверсий в подстановке

,

которая получается из подстановки перестановкой чисел и в нижней строке. Чётности перестановок и противоположны. Следовательно, t и – числа различной четности и потому знак противоположен знаку .

Поскольку члены (2) и (3) равны, но имеют противоположные знаки, они должны в определителе уничтожаться. Таким образом, получается попарное уничтожение всех членов определителя, вследствие чего .

Справедливость свойства 2 для столбцов следует из равноправности строк и столбцов определителя.

3. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя n–го порядка умножить на одно и то же число m, то значение определителя умножится на m.

Доказательство: Умножим, например, элементы -го столбца определителя -го порядка на . Тогда элементы этого столбца превратятся в . Если до умножения каждый член определителя имел вид: , то после умножения он примет вид: , т.е. умножится на . Что касается знака, то до и после умножения член должен иметь один и тот же знак , где - число инверсий в подстановке .

4. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя n–го порядка обладают общим множителем, то его можно вынести за знак определителя.

Пример:

Здесь вынесли за знак определителя общий множитель 2 элементов третьего столбца.

Свойство 4 непосредственно вытекает из свойства 3.

5. Определитель п–го порядка, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю.

Доказательство: Пусть, например, пропорциональны -я и -я строки определителя . Это значит, что каждый элемент -й строки отличается от соответствующего элемента -й строки на один и тот же множитель , т.е. определитель выглядит так:

Если теперь на основании свойства 4 вынести общий множитель за знак определителя, то получится определитель с двумя одинаковыми строками. Такой определитель согласно свойству 2 равен нулю.

6. Пусть каждый элемент -й строки (столбца) определителя n –го порядка есть сумма двух слагаемых. Тогда определитель равен сумме двух определителей того же порядка, причем в одном определителе -я строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых. Остальные строки (столбцы) того и другого определителя те же, что и в определителе .

Доказательство: Пусть в определителе

каждый элемент -й строки есть сумма двух слагаемых: .

Обратимся к произвольному члену определителя: . Он имеет знак знака подстановки . Раскроем скобки; тогда наш член распадается на два члена:

Но произведение есть член определителя и входит в него со знаком, определяющимся подстановкой . Произведение есть член определителя и входит в него с таким же знаком. Отсюда справедливость свойства 6 становится очевидной: , где

, .

Пользуясь методом математической индукции, нетрудно свойство 6 распространить на случай любого числа слагаемых.

7. Определитель n–го порядка не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какой-нибудь строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Доказательство: Прибавим к элементам -й строки определителя соответствующие элементы -й строки того же определителя, умноженные на число . Имеем:

Мы видим, что каждый элемент -й строки определителя является суммой двух слагаемых. Отсюда по свойству 6

.

Первый определитель этой суммы есть , а второй равен нулю, так как у него две строки пропорциональны. Следовательно, , что и требовалось показать.

Свойство 7, как мы увидим впоследствии, значительно упрощает вычисление определителей.

8. Если поменять местами две строки (столбца) определителя n–го порядка, то определитель изменит знак на противоположный, а по абсолютной величине не изменится.

Доказательство: Подвергнем определитель

следующим преобразованиям. Прибавим к его -й строке -ю. Получим:

.

В определителе из - й строки вычтем -ю строку. Получим:

.

Наконец, прибавим в определителе к -й - ю. Получим: .

Все эти преобразования по свойству 7 не изменяют значения определителя. Следовательно ,

что и требовалось доказать.