§ 6. Исследование системы линейных уравнений

Средства, которыми мы теперь располагаем, достаточны для того, чтобы обратиться к детальному анализу систем линейных уравнений. Пусть дана система

.

Введём в рассмотрение две матрицы: и .

Первая матрица составлена из коэффициентов при неизвестных в системе (1) и называется основной, а вторая получается из неё добавлением столбца свободных членов и называется расширенной матрицей системы (1) . Обозначим строки матрицы через , а строки матрицы через . Поскольку строки матрицы являются «кусками» строк матрицы , совершенно очевидно, что любая линейная зависимость между строками матрицы влечёт за собой такую же точно зависимость между строками матрицы :

(2).

Очевидно, что уравнение вида (3), не имеет решения. Т.к. всякая система уравнений, которая имеет уравнение вида (3) или в которой при помощи элементарных преобразований можно получить такие уравнения, будет несовместна.

Теорема Кронекера-Капелли: (критерий совместности системы линейных уравнений) Системы линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство: Приведём систему (1) к ступенчатому виду:

, ,

.

Тогда ступенчатые матрицы и соответственно будут основной и расширенной матрицами системы (4). Если система (4) несовместна, то это значит, что в ней имеется уравнение вида (3). Т.е. в матрице имеется строка, в которой все элементы, кроме , равны нулю; это значит, что число ненулевых строк в матрице будет на 1 больше, чем у матрицы . Так как матрицы ступенчатые, то ранги их равны числу строк, поэтому получаем, что ранг матрицы равен , а ранг равен . С другой стороны, если система (4) совместна, то в ней нет уравнения вида (3), т.е. матрица не имеет строки, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю, тогда число ненулевых строк в матрицах и будут совпадать, что говорит о равенстве рангов этих матриц. Так как элементарные преобразования не меняют множества решений системы и ранг матрицы, то можно сказать, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда . Теорема доказана.

Глава VI. Теория определителей

§ 1. Подстановки

Определение 1: Подстановкой множества , где называется инъективное отображение множества М на себя.

Другими словами, подстановкой из n элементов называется замена каждого элемента из множества М вполне определенным элементом из того же множества, причем так, что различные элементы заменяются различными элементами. Всякое отображение множества М на себя удобно записать в виде таблицы .

Порядок чисел в первой строке этой таблицы несуществен, его можно как угодно изменить. Однако надо следить за тем, чтобы для всякого число было записано непосредственно под . Например: или . Строки подстановки называются перестановками элементов множества .

Множество всех подстановок множества М обозначим через S_n; элементы этого множества называются подстановками степени п.

Произведение двух подстановок и множества М определяется как композиция отображений, и , т.е. их последовательное выполнение. Таким образом, по определению для .

Обозначим через тождественное отображение М на себя: для , т.е. .

Легко видеть, что для любой подстановки , т.е. является нейтральным элементом относительно умножения.

Если - подстановка множества М, то - также подстановка множества М и . При этом .

Теорема 1: Алгебра подстановок n-ой степени является группой.

Докажите самостоятельно.

Определение 2: Группа всех подстановок n-ой степени - называется симметрической группой степени . Тождественная подстановка называется единичным элементом этой группы.

Пусть дана подстановка множества , - элементы множества . Говорят, что числа образуют инверсию в строке подстановки, если , но стоит в этой строке раньше . Подстановка называется чётной, если суммарное число инверсий в обеих строках подстановки чётно, и нечётной в противном случае.

Так, например, в подстановке нет инверсий, она чётная, а в подстановке одна инверсия и она нечётная.

Если в любой строке подстановки любые два числа и поменять местами, то её чётность измениться на противоположную. Например, поменяем в подстановке 2 и 1 в нижней строке. Получим подстановку , в которой две инверсии, и она чётная.

Рассмотрим теперь частный, но важный случай подстановки. Назовем подстановку из чисел -членной циклической или - членным циклом, если она переводит в число , отличное от - в число , отличное от - в число , и - в исходное число , а прочие числа ( при ) оставляет неизменными. Циклическая подстановка обычно обозначается символом .

Нетрудно убедиться, что всякую подстановку из чисел можно представить как произведение независимых циклов. Независимых в том смысле, что никакие два цикла разложения не имеют общих чисел.

Для наглядности обратимся к конкретному примеру.

или

Теорема 2: Разность P между степенью n подстановки числом s независимых циклов (включая и одиночные), на которые разлагается данная подстановка, имеет ту же четность, что и данная подстановка из элементов. Т. е.

Без доказательства.

Примеры: , = 6 – 3 = 3 ; значит подстановка - нечетна.

Обозначим через знак подстановки , тогда

.

Можно сказать, что , где , или , где и - числа инверсий в верхней и нижней строках подстановки .

Теорема 3: Произведение двух (или четного числа) подстановок одинаковой четности есть четная подстановка.

Теорема 4: Произведение двух подстановок различной четности есть нечетная подстановка.

Теоремы 3 и 4 желательно, но не обязательно, доказать самостоятельно.

Следствие: Подстановки и имеют одинаковую чётность.

Действительно, , а - чётная подстановка.