АЛГЕБРА 2 курс 3 семестр
Глава IV. Комплексные числа
§ 1. Система комплексных чисел
На протяжении курса элементарной алгебры несколько раз происходит обогащение запаса чисел. Школьник, приступающий к изучению алгебры, приносит из арифметики знакомство с натуральными числами, т.е. положительными целыми числами (N). Алгебра начинается по существу с введения отрицательных чисел, т. е. с оформления первой среди важнейших числовых систем – системы целых чисел (Z), состоящей из всех положительных и всех отрицательных целых чисел и нуля, и более широкой системы рациональных чисел (Q), состоящей из всех целых чисел и всех дробных чисел, как положительных, так и отрицательных.
Дальнейшее
расширение запаса чисел происходит
тогда, когда в рассмотрение включаются
иррациональные
числа
(
).
Система, состоящая из всех рациональных
и иррациональных чисел, называется
системой
действительных (
или вещественных )
чисел (
R
). Строгое построение системы действительных
чисел будет рассмотрено в других разделах
математики. Однако сейчас будет достаточно
того знакомства с действительными
числами, какими обладают выпускники
средней школы.
Расширение системы действительных чисел до системы комплексных чисел ( С ) связано со следующей задачей. Известно, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть
(1);
только это уравнение будет нас сейчас интересовать. Задача, состоящая перед нами, такова: нужно расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (1) уже обладало бы корнем.
Комплексными
числами называются выражения вида
,
где
,
некоторый
символ, удовлетворяющий соотношению
.
Задание
комплексного числа
вполне определяется заданием двух
обыкновенных вещественных чисел
и
,
называемых компонентами.
-
действительная часть числа, а b
- коэффициент мнимой части.
Определим множество комплексных чисел.
Определение 1: Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел (компонент), для которых понятия равенства, суммы произведения и отожествления некоторых пар с действительными числами вводятся согласно следующим аксиомам:
I.
Пары (
)
и (
)
считаются равными, т. и т.т. когда равны
их соответствующие компоненты; (
)
(
)
и
;
II.
Суммой пар (
)
и (
)
называется пара
,т.е.
;
III.
Произведением пар (
)
и (
)
называется пара (
,
т.е. (
)
(
)
= (
;
IV.
Пара (
)
отождествляется с действительным числом
,
т.е. (
)
=
.
Проверим, совпадение IV аксиомы и действий, определённых в I – III аксиомах, с действиями над действительными числами.
1.
Пусть
,
тогда они отожествляются с (а,0) и (b,0);
по аксиоме I
,
т.е. сводится к равенству этих чисел в
обычном смысле.
2.
Пусть
(
)
или это число
+b,
т.е. сумма чисел
и b
в обычном смысле.
3.
Пусть
,
(а,0) и (b,0)
=
,
т.е. равно произведению
в обычном смысле и аксиома IV
согласуется с аксиомами I-III
и не приводит к путанице.
Обратим внимание на формулу, которая вытекает из аксиом III и IV.
,
т.к.
.
Свойства действий.
Проверим те свойства операций над комплексными числами, которые будут свидетельствовать о том, что комплексные числа составляют поле. При проверке мы немного переставим аксиомы в ином порядке.
1.
Коммутативность сложения :
.
2.Ассоциативность
сложения:
.
3. Пара (0,0) играет роль нейтрального элемента относительно сложения:
.
4.
Пара
является противоположным элементом
для пары
:
.
5.
Умножение коммутативно :
.
6.
Умножение ассоциативно:
.
7. Умножение дистрибутивно относительно сложения:
.
8. Пара (1,0) является нейтральным элементом относительно умножения:
.
9. Для любой пары , отличной от нуля существует обратная -1:
.
Доказательство
свойств 1, 2 очевидны (точнее, вытекают
из соответствующих свойств сложения
действительных чисел), т.к. при сложении
пар мы отдельно складываем их первые и
вторые компоненты пар. Коммутативность
умножения основана на том, что в
определение произведения пары
и
входят
симметричным образом.
Доказательство ассоциативности умножения следует из равенств:
Закон дистрибутивности вытекает из равенств
Итак, множество пар является полем. Оно называется полем комплексных чисел.