
Лабораторные работы - Выполненые / Студенты всех групп / LAB_07 / МП-30 / 18_Костров_07
.docЛабораторная работа №7.
Изучение процедур ode.. в MATLAB.
-
Объект исследования:
Объектом исследования является решение дифференциальных уравнений в MATLAB.
-
Теоретические сведения.
Для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в MatLab предусмотрены следующие функции
-
ode45 - одношаговый явный метод Рунге-Кутты 4-го и 5-го порядка. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты;
-
ode23 - одношаговый явный метод Рунге-Кутты 2-го и 4-го порядка. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот метод может дать выигрыш в скорости решения;
-
ode113 — многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения
-
ode23tb — неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем. Несмотря на сравнительно низкую точность, этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s;
-
ode15s — многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5, по умолчанию 5), использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения;
-
ode23s — одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности решения жесткой системы дифференциальных уравнений;
-
ode23t – метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты при решении задач, описывающих осцилляторы с почти гармоническим выходным сигналом;
Все они имеют вид ode__(f, interval, x0 [, options]).
Входными параметрами этих функций являются:
-
f - вектор-функция для вычисления правой части уравнения системы уравнений
-
interval - массив из двух чисел, определяющий интервал интегрирования дифференциального уравнения или системы;
-
x0 - вектор начальных условий системы дифференциальных систем
-
options - параметры управления ходом решения дифференциального уравнения или системы.
Все функции возвращают:
массив Т - координаты узлов сетки, в которых ищется решение;
матрицу X, i-й столбец которой является значением вектор-функции решения в узле Тi
Объектами моего исследования как раз и являются различные функции для решения дифференциальных уравнений типа ode .
-
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Способ №1
Возьмем функцию y=t.^2 и будем считать ее решением задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Создадим m-файл функцию yp.m, описывающую правую часть нашего дифференциального уравнения:
function yp=yp(t,y)
%
yp=2*t;
Решим эту задачу Коши с помощью процедуры ode45:
[t,Y]=ode45('yp',[0 3],0);
Выполним построение графиков известной функции y=t.^2 и результата численного решения задачи Коши Y(t):
plot(t,t.^2,'g+',t,Y,'r')
Способ №2
Правую часть дифференциального уравнения можно записать и другим способом: 2*sqrt(y).
Создадим другой m-файл функцию yp2.m, описывающую правую часть нашего дифференциального уравнения:
function yp=yp2(t,y)
%
yp=2*sqrt(y);
Снова решим задачу Коши с нулевым начальным условием. Построим соответствующие графики.
[t,Y]=ode45('yp2',[0 3],0);
plot(t,t.^2,'g+',t,Y,'r')
Подобное происходит так как в точке 0 производная функции y не существует.
-
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка.
Возьмем известную функцию, например, y=cos(t):
y''=-cos(t) или y''=-y;
y(0)=1;
y'(0)=0;
Чтобы можно было воспользоваться MATLABом сначала сведем эту задачу к системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка. Будем считать саму функцию y первой координатой двумерной функции Y (т.е. Y(1) или на языке MATLAB Y(:,1)), а ее первую производную y' второй (т.е. Y(2) или на языке MATLAB Y(:,2)). Тогда с учетом того, что y мы придумали сами имеем первое уравнение системы:
Y'(1)=-sin(t),
второе:
Y'(2)=-cos(t) или Y'(2)=-Y(1);
Если эту систему записать в матричной форме, то слева получим вектор-столбец из производных компонент вектор-функции Y, а справа вектор-столбец из функций:
[-sin(t); -cos(t)];
Создадим m-файл функцию yp3.m, описывающую правую часть нашей системы дифференциальных уравнений:
function yp=yp3(t,y)
%
yp=[-sin(t);-y(1)];
Исследуем решения, например так:
[t,YY]=ode45('yp3',[0 2*pi],[1 0]);
plot(t,cos(t),'r+',t,YY);
figure;
plot(t,cos(t),'r+',t,YY(:,1));
Первый вызов plot строит графики функции y и её производной, второй – только функции y.
5. Собственный пример.
functionyp=yp4(t,y)
%
yp=[8*t.^2 + t;y(1)];
[t,Y]=ode45('yp4',[-3 3],[-27 27]);
plot(t,t.^3,'r+',t,Y(:,1),'g')