Лабораторная работа № 7

1. Работа с функцией ode45( ). примеры из лабораторной работы

   1. Функция y=t^2 ;

Создадим m-файл функцию yp.m, описывающую правую часть нашего дифференциального уравнения:

function yp=yp(t,y)

%

yp=2*t;

запустим процедуру решения этой задачи Коши

>> [t,Y]=ode45('yp',[0 3],0);

построим графики известной функции y=t.^2 и результата численного решения задачи Коши Y(t)

>> plot(t,t.^2,'g+',t,Y,'r')

Рассмотрим отличия посчитанного и реального результатов

>> plot(t,t.^2-Y,'r')

Создадим другой m-файл (правую часть диффернциального уравнения можно записать и другим способом: 2*sqrt(y) )

function yp=yp2(t,y)

%

yp=2*sqrt(y);

снова решим задачу Коши с нулевым начальным условием

>> [t,Y]=ode45('yp2',[0 3],0);

>> plot(t,t.^2,'g+',t,Y,'r')

решением этой задачи Коши (c таким начальным условием) может быть и функция y=0. Этот результат нам и показал Matlab

зададим другое начальное условие и получим желаемый результат

>> [t,Y]=ode45('yp2',[1 3],1);

>> plot(t,t.^2,'g+',t,Y,'r')

2. задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка ( y=cos(t) )

Возьмем функцию y=cos(t) ,то y'=-sin(t) ,а y''=-cos(t) или y''=-y

чтобы можно было воспользоваться MATLABом сначала сведем эту задачу к системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка

создадим m-файл

function yp=yp3(t,y)

%

yp=[-sin(t);-y(1)];

исследуем решения

>>[t,YY]=ode45('yp3',[0 2*pi],[1 0]);

>>plot(t,cos(t),'r+',t,YY)

>>plot(t,cos(t),'r+',t,YY(:,1))

2. Собственные примеры

   1. Нахождение функции x=exp(2*t) по d³x/dt³

Итак, у нас имеются начальные условия

x'''=8*exp(2*t) и x(0)=1 x'(0)=2 x''(0)=4

нам нужно найти функцию x(t) и ясно , что это ответом будет x=exp(2*t), но сможем ли мы справиться с задачей с помощью матлаба.

Создадим m-файл

function f=my(t,x)

f=[x(2);x(3);8*exp(2*t)];

затем исследуем решения

>> [t,X]=ode45('my',[0 2],[1;2;4]);

>> plot(t,X)

Проверим совпало ли решение

>> plot(t,X(:,1),t,exp(2*t),'*')