-
Модель Мальтуса – Ферхюльста
Обсуждению важности вывода Мальтуса для популяционной динамики великий Дарвин посвятил несколько страниц своего дневника, указывая, что поскольку ни одна популяция не размножается до бесконечности, должны существовать факторы, препятствующие такому неограниченному размножению. Среди этих факторов может быть нехватка ресурса (продовольствия), вызывающая конкуренцию внутри популяции за ресурс, хищничество, конкуренция c другими видами. Результатом является замедление скорости роста популяции и выход ее численности на стационарный уровень.
Впервые системный фактор, ограничивающий рост популяции, описал Ферхюльст в уравнении логистического роста. Он ввел в уравнение Мальтуса дополнительный отрицательный член, который пропорционален квадрату скорости роста и отражает уменьшение численности за счет ограниченности ареала обитания или же количества ресурсов.
Логистическое уравнение обладает двумя
важными свойствами. При малых значениях
N численность возрастает экспоненциально
(как в уравнении
),
при больших – приближается к определенному
пределу Np. Эта величина,
называемая емкостью экологической ниши
популяции (равновесной численностью
популяции), определяется ограниченностью
пищевых и других ресурсов. Таким образом,
емкость экологической ниши представляет
собой системный фактор, который определяет
ограниченность роста популяции в данном
ареале обитания.
-
Упрощающие предположения
Для построения модели, примем следующие упрощающие предположения:
-
Существует «равновесная» численность популяции Np, которую может обеспечить окружающая среда;
-
Скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной на величину ее отклонения от равновесного значения.
-
Построение математической модели
Ранее мы ввели константу
,
которая обозначает равновесную
численность популяции и
- коэффициент естественной скорости
роста популяции.
Т.о.имеем
Член
в этом уравнение обеспечивает механизм
«насыщения» численности – при
скорость роста положительна (отрицательна)
и стремится к нулю, если
.
Представим дифференциальное уравнение в виде
,
проинтегрировав его, получим
Постоянную интегрирования определим
из условия
,
т.е.
.
В результате
Или
3 Логистические кривые, соответствующие различным значениям начальной численности N(0)
Поведение функции N(t) описывается логистической кривой. При любом N(0) численность стремится к равновесному значению Np, причем тем медленнее, чем величина N(t) ближе к N(0). Т.о. в данной модели равновесие устойчиво (в отличие от модели, рассмотренной в первом примере).
-
Реализация задач в matlab
Создадим функцию yp.m
function dN=yp(t,N)
alfa=0.1;
Np=2000;
dN=N*(Np-N)*alfa/Np;
С помощью процедуры ode45 для численного решения задачи Коши найдем решение уравнения Ферхюльста.
Зададим значения начальной и равновесной численности популяции, общее время роста и построим график, иллюстрирующий зависимость численности популяции от времени:
N0=input('Введите первоначальную численность населения N0, меньшую 2000 ');
Np=2000;
plot(t,Np,'b')
grid on
hold on
for N00=N0:200:Np+N0
[t,N]=ode45('yp',0:0.01:50,[N00]);
if N00<Np
plot(t,N,'r')
elseif N00==Np
plot (t,N)
elseif N00>Np
plot(t,N, 'g')
end
end
title('изменение численности популяции')
xlabel('t')
ylabel('N(t)')
4 График изменения численности популции по модели Мальтуса – Ферхюльста
-
Выводы
Логистическая модель более реалистично отражает динамику популяции по сравнению с моделью Мальтуса.