15. Эквиваленстность множеств(см.Ниже)

Пусть – произвольные множества. Обозначим черезмножество всех отображений

Теорема 3. Для любых множеств имеет место эквивалентность

Доказательство. Пусть ТогдаДля каждогопустьопределено правиломПо определениюЗначит, мы имеем отображениеЯсно, чтоПоложимМы получили отображение

Докажем, что Ф является вложением. Действительно, пусть Тогдапри некоторыхОтсюдаЗначит,а потомуТаким образом,т.е.– вложение.

Осталось доказать, что является наложением, т.е. что для каждогосуществует такоечтоИмеем:Значит,т.е.Таким образом,ПоложимТогдаОсталось проверить, чтоМы имеем:Ввиду произвольности элементаполучаем:По определениюЗначит,Ввиду произвольности элементаполучаем:Это и требовалось доказать.

Множество всех отображений множества в двухэлементное множествообозначим через

16. Вполне упорядоченные множества и их свойства.

Множество называетсявполне упорядоченным, если оно линейно упорядочено и любое непустое его подмножество имеет наименьший элемент.

Утверждение. Линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным, если и только если оно не содержит бесконечных убывающих последовательностей элементов

Доказательство. Необходимость. Пусть вполне упорядочено и в нём есть убывающая цепьТогда множествоне имеет наименьшего элемента – противоречие.

Достаточность. Пусть – линейно упорядоченное множество без бесконечных убывающих цепей элементов. Рассмотрим какое-нибудь непустое подмножествоПусть– какой-нибудь элемент изЕслих₁ не наименьший, то существует такое, чтоЕслине наименьший, то существуеттакое, чтои т.д. Еслине имеет наименьшего элемента, то существует бесконечная убывающая цепь, что противоречит условию.

Пр.1.Множество натуральных чисел с обычным отношением порядка является вполне упорядоченным.

Свойства вполне упорядоченных множеств:

1. любое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено;

2. если и– два непересекающихся вполне упорядоченных множества, то порядок на множествеопределённый следующим образом.

3. 

превращает во вполне упорядоченное множество.

Доказательство очевидно.

Пусть – линейно упорядоченное множество.Начальным отрезком множества назовём такое подмножествочто

Лемма 1. Для любых двух начальных отрезков линейно упорядоченного множествалиболибоДоказательство. Пусть Тогда существуетВозьмём любой элементЕсли быточто невозможно. Значит,Отсюда следует, чтоИтак, любой элементлежит вСледовательно,

Два линейно упорядоченных множества называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок.

Теорема 1. Для любых двух вполне упорядоченных множеств одно из них изоморфно начальному отрезку другого. Доказательство. Пусть – вполне упорядоченные множества. Рассмотрим изоморфизмыгде– начальные отрезки множествТакие изоморфизмы есть. Например, еслиинепусты, аи– наименьшие элементы множествито– изоморфизм начальных отрезков. Докажем теперь, что для каждого начального отрезкамножестваизоморфизмгде– начальный отрезок множестваесли существует, то однозначен. Действительно, пусть– изоморфизмы, где– начальный отрезок множестваПусть– наименьший элемент изтакой, чтоМы можем считать, чтоПоложимОчевидно,отображает взаимно однозначнонаДляПо условиюиПоэтомупри некоторомИмеем:что противоречит равенству

Пусть – объединение всех начальных отрезковдля которых существует изоморфизмна начальный отрезокмножестваРассмотрим отображениеопределённое следующим образом: еслитодля некоторогодля которого есть изоморфизмположимЭто определение является корректным, так как еслии– изоморфизм, то либолибоЕслитои– изоморфизмы начального отрезкана начальный отрезокилиПоэтомуЗначит,что доказывает корректность определения отображения

Очевидно, – наибольший начальный отрезок вотображающийся на начальный отрезок вПустьДокажем, что либолибоПредположим, чтоиПустьПоложимОчевидно,и– начальные отрезки множествисоответственно. Определим отображениеположивдляиОчевидно,– изоморфизм начальных отрезковиТак как– наибольший начальный отрезок, изоморфный начальному отрезку втоОднакоМы получили противоречие. Следовательно,илиВ первом случае множествоизоморфно начальному отрезку множестваво втором случае – наоборот. Теорема доказана.