10. Теорема Шрёдера – Бернштейна.

Мощностью конечного множества мы будем называть количество его элементов. Множества и называютсяэквивалентными (или равномощными), если существует взаимно однозначное отображение множества на множествоДля эквивалентных множеств мы будем писатьили

Свойства эквивалентности множеств:

1)

2. если то

3. если ато

Мощностью множества А называется совокупность всех множеств, эквивалентных множеству А. Мощность множества А обозначается

Говорят, что мощность множества не превосходит мощности множества (записываем: если существует вложение множества в множество Если существует вложение вно не существует взаимно однозначного отображениянато мы говорим, что мощность множествастрого меньше мощности множества и пишем

Теорема 1 (теорема Шрёдера – Бернштейна). Если существуют вложения ито существует взаимно однозначное отображение

Доказательство. Положим Пустьи вообщеМы имеем:

(1) , где

(2) , гдеОчевидно,взаимно однозначно отображаетнапоэтому существуеттакже взаимно однозначное. Проверим, чтовзаимно однозначно отображаетнаДействительно, пустьТак кактоСледовательно,ПустьТак какитодля некоторогоЭто равенство выполнено для каждого натуральногоЕслиито (ввиду того, что– вложение)Следовательно,Таким образом,взаимно однозначно. Кроме того,взаимно однозначно отображаетнанаи т.д., авзаимно однозначно отображаетнанаи т.д. Пользуясь соотношениями (1) и (2), нетрудно убедиться в том, что отображениеопределённое правиломявляется взаимно однозначным. ЧТД.

Практическое значение: она позволяет доказывать эквивалентность множеств ине прибегая к построению взаимно однозначного отображенияа строя лишь вложенияи

Пример. Докажем, что отрезок и интервалравномощны. Действительно, тождественное отображениеявляется вложениемвДалее, отрезоквкладывается в интервала он взаимно однозначно отображается на интервалс помощью отображенияОтсюда по теореме Шрёдера – Бернштейна получаем:

Итак, отношение обладает обычными свойствами частичного порядка (рефлексивность, транзитивность, антисимметричность). Любые ли два множества сравнимы по мощности,т.е. верно ли, что для любых множествихотя бы одно из них вкладывается в другое? Да,для любых множеств А и В имеет место хотя бы одно из следующих соотношений: но доказать это мы сможем лишь позже – в разделе 2.2.

11. Счетные множества и их свойства.

Определение. Множество называетсясчётным, если N.

Например, счётным является множество 2N чётных натуральных чисел. Действительно, отображение задаёт взаимно однозначное соответствие между множествамиN и 2N.

Свойства счётных множеств:

1. объединение двух счётных множеств счётно;

2. прямое произведение двух счётных множеств счётно;

3. объединение счётного числа счётных множеств счётно;

4. всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество.

Доказательство. Докажем вначале утверждение 2). Пусть гдесчётные множества. Элементы множестваможно расположить в виде таблицы:

			. . .
			. . .
			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .

Пересчёт элементов множества т.е. установление взаимно однозначного соответствия между элементами множествиN может быть осуществлён, например, так:

1	2	4	7	11	16 . . .
3	5	8	12	17	23 . . .
6	9	13	18	24	31 . . .
10	14	19	25	32	40 . . .
15	20	25	33	41	50 . . .
21 . . .	27 . . .	34 . . .	42 . . .	51 . . .	. . . . . . . . .

Номер, который будет присвоен паре равен

Утверждение 3) следует из 2) и теоремы Шрёдера – Бернштейна. Поясним это. Пусть где каждоесчётно. Так какN вкладывается в тоN вкладывается в Осталось построить вложениеN. По условию счётные множества, поэтомузначит, элемент изимеет видНе исключается, чтопри каких-нибудьДля каждоговыберем одно какое-нибудь представление в видеОтображениеопределяет вложениевNN, а по свойству 2) | NN | = | N |. Значит, N |.

Утверждение 1) следует из 3), так как

Докажем утверждение 4). Пусть бесконечное множество. Выберем элементТак какбесконечно, тоЗначит, существует элементТаким же образом найдёми т.д. Мы получили счётное подмножествомножестваМощность множестваN (а значит, любого счётного множества) обозначается  (читается: “алеф-нуль”). Так как всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество, то  – самая маленькая из всех бесконечных мощностей.

Если и– два непересекающихся счётных множества, то по свойству 1). Это можно записать так: +  = . Аналогично этому свойство 2) можно записать так: 